计算二重积分,∫∫(x+y)dxdy,D:x^2+y^2≤2Rx
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亲亲您好！
很高兴为您解答：^2+y^2=2解：将x^2+y^2=2转换为极坐标形式，即x=2cosθ,y=2sinθ，则∫∫(x+y)dxdy=∫∫(2cosθ+2sinθ)2cosθ2sinθdθdφ=∫2π∫0~2π(2cosθ+2sinθ)2cosθ2sinθdθdφ=∫2π∫0~2π4cosθsinθdθdφ=∫2π∫0~2π2sin2θdθdφ=∫2π∫0~2π2(1-cos2θ)dθdφ=∫2π∫0~2π2dθdφ-∫2π∫0~2πcos2θdθdφ=4π-2π=2π
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咨询记录 · 回答于2023-03-30
计算二重积分,∫∫(x+y)dxdy,D:x^2+y^2≤2Rx
亲亲您好！很高兴为您解答：^2+y^2=2解：将x^2+y^2=2转换为极坐标形式，即x=2cosθ,y=2sinθ，则∫∫(x+y)dxdy=∫∫(2cosθ+2sinθ)2cosθ2sinθdθdφ=∫2π∫0~2π(2cosθ+2sinθ)2cosθ2sinθdθdφ=∫2π∫0~2π4cosθsinθdθdφ=∫2π∫0~2π2sin2θdθdφ=∫2π∫0~2π2(1-cos2θ)dθdφ=∫2π∫0~2π2dθdφ-∫2π∫0~2πcos2θdθdφ=4π-2π=2π
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x^2+y^2=2Rx 不是等于2
根据题目，我们需要计算二重积分：∫∫(x+y)dxdy，其中 D:x^2+y^2≤2R^2由于积分区域 D 是圆形，可以采用极坐标系来计算积分。极坐标系下，D 的表示为 0≤r≤√2R^2，0≤θ≤2π。将 x 和 y 转化为极坐标系下的表示：x = rcosθ，y = rsinθ，则有：x + y = r(cosθ + sinθ)Jacobian 行列式为 r，于是原式变为：∫∫(x+y)dxdy = ∫∫r(cosθ+sinθ)rdrdθ对于θ的积分，由于cosθ+sinθ是周期函数，所以在 [0,2π] 区间内积分结果为0，即：∫(cosθ+sinθ)dθ = sinθ-cosθ，从0到2π，积分结果为0。对于r的积分，有：∫r^2dr，从0到√2R^2，积分结果为 (2/3)R^3。综上所述，原式的计算结果为 0。
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