Question

函数 f(x,y,z)=x^2yz^2 在点(1,1,1)处的最大方向导数为()

Answer 1

问：函数 f(x,y,z)=x^2yz^2 在点(1,1,1)处的最大方向导数为()

答：亲！很高兴为您解答。这里的答案是 2y, 因为f(x,y,z)=x^2yz^2 的最大方向导数在点(1,1,1)处为： $\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}|_{(1,1,1)} = 2y$

问：选项里有吗

答：亲～很高兴为您解答。答案为3。首先，我们需要求出函数在点(1,1,1)处的梯度向量。梯度向量是函数在某一点处的最大方向导数的方向，它的方向是函数在该点处增加最快的方向。对于函数f(x,y,z)=x^2yz^2，我们可以分别对x、y、z求偏导数，得到梯度向量为：grad(f) = 将点(1,1,1)代入梯度向量中，得到：grad(f)(1,1,1) = 接下来，我们需要求出梯度向量在点(1,1,1)处的模长。梯度向量的模长表示函数在该点处增加最快的速率。|grad(f)(1,1,1)| = √(2^2 + 1^2 + 2^2) = √9 = 3最后，我们需要求出函数在点(1,1,1)处沿着梯度向量方向的方向导数。函数沿着梯度向量方向的方向导数表示函数在该点处增加最快的速率。函数在点(1,1,1)处沿着梯度向量方向的方向导数为：D_u(f)(1,1,1) = |grad(f)(1,1,1)| * cosθ其中，θ为梯度向量和u的夹角。因为梯度向量是函数在该点处最大方向导数的方向，所以θ为0

答：即：θ = 0cosθ = cos0 = 1因此，函数在点(1,1,1)处沿着梯度向量方向的方向导数为：D_u(f)(1,1,1) = |grad(f)(1,1,1)| * cosθ = 3 * 1 = 3综上所述，函数f(x,y,z)=x^2yz^2在点(1,1,1)处的最大方向导数为3。