Question

一个数,被9除余2;被10除余3;被11除差7;被12除余5,这个数最小是多少?

Answer 1

问：一个数,被9除余2;被10除余3;被11除差7;被12除余5,这个数最小是多少?

问：速度

答：我们可以通过列方程的方式求解。首先，由于这个数被 9 除余 2，因此可以表示为 9 的倍数加上 2。即：这个数是 9 的倍数加上 2，即 x = 9n + 2（n 为自然数）。同理，由于这个数被 10 除余 3，因此可以表示为 10 的倍数加上 3。即：这个数是 10 的倍数加上 3，即 x = 10m + 3（m 为自然数）。同理，由于这个数被 11 除差 7，我们可以将它转化为被 11 除余 4，即：x ≡ 7 (mod 11)x ≡ -4 (mod 11)因此，这个数是 11 的倍数减去 4，即 x = 11k - 4（k 为自然数）。最后，由于这个数被 12 除余 5，因此可以表示为 12 的倍数加上 5。即：这个数是 12 的倍数加上 5，即 x = 12p + 5（p 为自然数）。

答：因为最小公倍数为 9 × 10 × 11 × 12 = 11880，所以我们只需要在满足上述方程的前提下找到最小的正整数解即可。根据上述四个方程，可以得到以下等式：9n + 2 = 10m + 3 = 11k - 4 = 12p + 5根据这些等式，我们可以得到：9n + 2 = 10m + 3因此，n 和 m 的差为 1。我们可以将 m 表示成 n 加上一个整数 k，其中 k ≥ 1。于是有：m = n + k将这个式子代入 x = 10m + 3 中，得到：x = 10(n + k) + 3 = 10n + 10k + 3再将 x = 9n + 2 代入，得到：9n + 2 = 10n + 10k + 3因此，k = -1。同样地，我们可以通过下列等式进行计算：11k - 4 = 12p + 5因此，k 和 p 的和为 1。我们可以将 p 表示成 k 加上一个整数 q，其中 q ≥ 1。于是有：

答：p = k + q将这个式子代入 x = 11k - 4 中，得到：x = 11(k + q) - 4 = 11k + 11q - 4再将 x = 9n + 2 代入，得到：9n + 2 = 11k + 11q - 4因此，k 和 q 的差为 1。因为 k 和 p、n 和 m 的和相等，因此我们可以得到：k - p + (n + m) = 0将 p 表示成 k + q，将 m 表示成 n + k，代入上式，得到：2k + 2n + q = 0因此，k+n 和 q 的和为 0，差为偶数（即它们同奇偶性），并且 |k + n| >= 1。我们为了计算最小值，取 k+n=-1，q=1，则有：k + n = -1，q = 1将 q = 1 代入 p = k + q 中，得到：p = k + q = k + 1因此，这个数可以表示为：x = 12p + 5 = 12(k + 1) + 5 = 12k + 17因为 12、9、10、11 都是 x 的因数，所以 x 一定是 11880 的倍数。因此，我们只需要找到最小的 k，使得 12k

答：使得 12k + 17 是 11880 的倍数即可。下面通过枚举的方式求解。当 k = 0 时，x = 17，不是 11880 的倍数。当 k = 1 时，x = 29，也不是 11880 的倍数。当 k = 2 时，x = 41，仍然不是 11880 的倍数。当 k = 3 时，x = 53，也不是 11880 的倍数。当 k = 4 时，x = 65，不是 11880 的倍数。当 k = 5 时，x = 77，仍然不是 11880 的倍数。当 k = 6 时，x = 89，也不是 11880 的倍数。当 k = 7 时，x = 101，仍然不是 11880 的倍数。当 k = 8 时，x = 113，不是 11880 的倍数。当 k = 9 时，x = 125，也不是 11880 的倍数。当 k = 10 时，x = 137，仍然不是 11880 的倍数。当 k = 11 时，x = 149，不是 11880 的倍数。

答：当 k = 12 时，x = 161，仍然不是 11880 的倍数。当 k = 13 时，x = 173，也不是 11880 的倍数。当 k = 14 时，x = 185，是 11880 的倍数。因此，这个数最小是 185。