Question

28设随机变量X的概率密度为f(x)=+x+,0x<1+f(x)=x+3,1x2+0,其他+求E(X),D(X+).

Answer 1

问：28设随机变量X的概率密度为f(x)=+x+,0x<1+f(x)=x+3,1x2+0,其他+求E(X),D(X+).

答：您好。首先，我们需要计算随机变量X的期望值E(X)和方差D(X)。根据概率密度函数f(x)的定义域可以分为三个区间进行计算。对于0 < x < 1 的区间，概率密度函数为 f(x) = x。在此区间上，X 的期望值 E(X) 可以通过以下积分求得：E(X) = ∫[0,1] x * f(x) dx = ∫[0,1] x * x dx = ∫[0,1] x^2 dx = [x^3/3]（从0到1）= 1/3方差 D(X) 可以用以下公式计算：D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2由于在这个区间上，f(x) = x，我们可以求得 E(X^2)：E(X^2) = ∫[0,1] x^2 * f(x) dx = ∫[0,1] x^2 * x dx = ∫[0,1] x^3 dx = [x^4/4]（从0到1）= 1/4将 E(X) 和 E(X^2) 带入方差公式中，我们可以计算出方差 D(X)：D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1/4 - (1/3)^2 = 1/4 - 1/9 = 5/36接下来，对于 1 < x < 2 的区间，概率密度函数为 f(x) = x + 3。在这个区间上，X 的期望值 E(X) 和方差 D(X) 可以采用类似的方法计算。我们可以得到：E(X) = ∫[1,2] x * f(x) dx = ∫[1,2] x * (x + 3) dx = ∫[1,2] (x^2 + 3x) dx = [x^3/3 + 3x^2/2]（从1到2）= (8/3 + 12) - (1/3 + 3/2) = 25/6E(X^2) = ∫[1,2] x^2 * f(x) dx = ∫[1,2] x^2 * (x + 3) dx = ∫[1,2] (x^3 + 3x^2) dx = [x^4/4 + x^3]（从1到2）= (16/4 + 8) - (1/4 + 1) = 31/4D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 31/4 - (25/6)^2 = 31/4 - 625/36 = 161/36最后，在其他区间上，概率密度函数为 f(x) = 0。由于这些区间上的概率为零，我们可以直接得出 E(X) = 0 和 D(X) = 0。

答：综上所述，随机变量 X 的期望值 E(X) 和方差 D(X) 分别为：E(X) = 1/3（当 0 < x < 1）E(X) = 25/6（当 1 < x < 2）E(X) = 0（其他情况）D(X) = 5/36（当 0 < x < 1）D(X) = 161/36（当 1 < x < 2）D(X) = 0（其他情况）