Question

设D是由+y=x,+y=-x+及+x^2+y^2=1+在+x>0+半平面围成-|||-的区域,则+__0_(1+y)

Answer 1

问：设D是由+y=x,+y=-x+及+x^2+y^2=1+在+x>0+半平面围成-|||-的区域,则+__0_(1+y)

答：根据题意，D是由三条曲线和x轴组成的封闭图形，其中两条曲线分别为直线+y=x和+y=-x，第三条曲线为圆+x^2+y^2=1，在x轴的正半轴上，该圆与x轴交于两个点，分别为(1,0)和(-1,0)。首先，我们可以通过对称性得到该积分的一个等价形式，即∫_0^1 (1+y) dx = 2∫_0^1 (1+y) dx = 2∫_0^1 (1+y) d(x+y)接下来，我们可以考虑将积分区域分成三部分来计算积分：从x=0到x=1，y从0到y=x的区域，对应于右上角的三角形区域。在这个区域中，1+y的取值范围为[1,2]，而x+y的取值范围为[0,1]。因此，对于这个区域的积分贡献为∫_0^1 ∫_0^x (1+y) dy dx = ∫_0^1 (x+3/2) dx = 5/4从x=0到x=1，y从-y到0的区域，对应于左下角的三角形区域。在这个区域中，1+y的取值范围为[0,1]，而x+y的取值范围为[-x,0]。因此，对于这个区域的积分贡献为∫_0^1 ∫_-x^0 (1+y) dy dx = ∫_0^1 (1/2-x) dx = 1/4从x=1到x=√2，y从0到+y=sqrt(1-x^2)的区域，对应于右半圆形区域。在这个区域中，1+y的取值范围为[1,1+sqrt(2-x^2)]，而x+y的取值范围为[x,1+sqrt(2-x^2)]。因此，对于这个区域的积分贡献为∫_1^sqrt(2) ∫_0^sqrt(1-x^2) (1+y) dy dx = ∫_1^sqrt(2) (2+sqrt(2-x^2)) dx = 2sqrt(2)/3+2因此，将上述三部分的积分贡献加起来，可得原积分的值为：2∫_0^1 (1+y) d(x+y) = 2(5/4+1/4+(2sqrt(2)/3+2)) = 4sqrt(2)/3+9/2因此，原积分的值为4sqrt(2)/3+9/2。

答：设D是由+y=x,+y=-x+及+x^2+y^2=1+在+x>0+半平面围成-|||-的区域，答案为A

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