Question

积分中值定理

Answer 1

积分中值定理：分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等。
积分中值定理：
若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,，则在积分区间[a, b]上至少存在一个点ξ，使下式成立∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a)（ a≤ ξ≤ b)
证明：
因为f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数，设f(x)的最大值及最小值分别为M及m，于是m≦f(x)≦M将上式同时在[a,b]区间内积分，可得积分中值定理m(b-a)≦∫下限a上限bf(x)dx≦M(b-a)即m≦∫下限a上限bf(x)dx/(b-a)≦M因为m≦f(x)≦M是连续函数，由介值定理，必存在一点ξ，使得∫下限a上限bf(x)dx/(b-a)=f(ξ)即∫下限a 上限bf(x)dx=f(ξ)(b-a)