Question

证明∑x的n次方/n²+n在[0,1]上一致收敛

Answer 1

问：证明∑x的n次方/n²+n在[0,1]上一致收敛

问：你好，原题是这样的

答：要证明函数序列∑(n=1)^(∞)x^n/(n^2+n)在[0,1]上一致收敛，我们需要使用一致收敛的定义。一致收敛的定义是：对于任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于区间[0,1]中的任意x，函数序列的每一项与其极限函数之间的差值都小于ε。

答：现在我们来证明∑(n=1)^(∞)x^n/(n^2+n)在[0,1]上一致收敛。首先，我们考虑函数序列的每一项，即f_n(x) = x^n/(n^2+n)。对于任意的x∈[0,1]，我们可以发现当n趋向于无穷大时，函数序列的每一项都趋向于0，即lim(n→∞) f_n(x) = 0。

答：接下来，我们要证明序列的收敛速度是一致的，即对于任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，对于区间[0,1]中的任意x，有|f_n(x) - 0| ε。考虑函数序列的每一项的绝对值 |f_n(x)| = |x^n/(n^2+n)|。对于任意的ε>0，我们可以选择一个正整数N，使得当n>N时，有1/N ε。现在我们来估计函数序列的每一项在区间[0,1]上的绝对值：|f_n(x)| = |x^n/(n^2+n)| ≤ 1/(n^2+n) ≤ 1/(n^2) （因为n^2+n > n^2）根据我们选择的正整数N，当n>N时，有1/(n^2) < 1/N ε。因此，对于任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于区间[0,1]中的任意x，有|f_n(x) - 0| = |f_n(x)| < ε。这表明函数序列∑(n=1)^(∞)x^n/(n^2+n)在[0,1]上一致收敛。综上所述，我们证明了函数序列∑(n=1)^(∞)x^n/(n^2+n)在[0,1]上一致收敛。