Question

反常积分中p级数怎么确定的

Answer 1

问：反常积分中p级数怎么确定的

答：反常积分中的p级数 是指形如 $\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx$ 的积分，其中 p 是一个常数，a 是积分下限。 要确定 p 级数是否收敛，需要根据 p 的大小来进行分类讨论。 当 p > 1 时，$\frac{1}{x^p}$ 是一个单调递减的函数，而且 $\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx$ 可以化为 $\lim_{t\to\infty}\int_{a}^{t}\frac{1}{x^p}dx$ 的形式，因此可以使用积分判别法来判断该积分是否收敛。当 p > 1 时，该积分收敛；当 p <= 1 时，该积分发散。

问：能不能再展开讲讲？

答：当0 < p < 1时，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收敛；当p ≤ 0时，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$发散。 因此，当0 < p < 1时，$\frac{1}{x^p}$在积分区间内是单调函数，可以使用积分判别法和p级数收敛的充分条件。 当p ≤ 0时，$\frac{1}{x^p}$在积分区间内不是单调函数，因此不能使用积分判别法和p级数收敛的充分条件。此时需要使用比较判别法或极限判别法来判断该积分是否收敛。 比较判别法是指将原积分与一个已知收敛或发散的积分进行比较，而极限判别法是指将原积分化为极限的形式进行判断。