Question

设σ是n维向量空间V的一个线性变换,且+σ^2=2σ,+l为单位变换,证明:+1.+kerσ

Answer 1

问：设σ是n维向量空间V的一个线性变换,且+σ^2=2σ,+l为单位变换,证明:+1.+kerσ

问：设σ是n维向量空间V的一个线性变换,且 σ^2=2σ, l为单位变换,证明:1. kerσ=Im(σ-2l),2. Imσ=ker(σ-2l),3. V=kero+Imo.

答：您好亲，证明：1. 对于任意向量v∈kerσ，有σ(v)=0，进而有(σ-2l)(σ(v))=σ(v)-2σ(v)=-σ(v)，即(σ-2l)(σ(v))∈Im(σ-2l)。又因为(σ-2l，(σ(v))=-σ(v)∈Im(σ-2l)，因此kerσ⊆Im(σ-2l)。反过来，对于任意向量v∈Im(σ-2l)，存在u∈V使得v=(σ-2l)(u)，进而有σ(v)=σ((σ-2l)(u))=σ^2(u)-2σ(u)=2σ(u)-2σ(u)=0，即v∈kerσ。因此Im(σ-2l)⊆kerσ。综上所述，kerσ=Im(σ-2l)。2. 对于任意向量v∈Imσ，存在u∈V使得v=σ(u)，进而有(σ-2l)(v)=(σ-2l)(σ(u))=σ^2(u)-2σ(u)=2σ(u)-2σ(u)=0，即(σ-2l)(v)∈ker(σ-2l)。又因为(σ-2l)(v)=0∈ker(σ-2l)，因此Imσ⊆ker(σ-2l)。反过来，对于任意向量v∈ker(σ-2l)，有(σ-2l)(v)=0，进而有σ(v)=σ(σ-2l)(v)=σ^2(v)-2σ(v)=2σ(v)-2σ(v)=0，即v∈Imσ。因此k

问：设σ是n维向量空间V的一个线性变换,且 σ^2=2σ, l为单位变换,证明:1. kerσ=Im(σ-2l),2. Imσ=ker(σ-2l),3. V=kerσ+Imσ.

答：补充：2. 对于任意向量v∈Imσ，存在u∈V使得v=σ(u)，进而有(σ-2l)(v)=(σ-2l)(σ(u))=σ^2(u)-2σ(u)=2σ(u)-2σ(u)=0，即(σ-2l)(v)∈ker(σ-2l)。又因为(σ-2l)(v)=0∈ker(σ-2l)，因此Imσ⊆ker(σ-2l)。反过来，对于任意向量v∈ker(σ-2l)，有(σ-2l)(v)=0，进而有σ(v)=σ(σ-2l)(v)=σ^2(v)-2σ(v)=2σ(v)-2σ(v)=0，即v∈Imσ。因此ker(σ-2l)⊆Imσ。综上所述，Imσ=ker(σ-2l)。3. 由1和2可知，V=kerσ⊕Imσ=Im(σ-2l)⊕ker(σ-2l)。对于任意向量v∈V，存在唯一的向量u∈V和向量w∈V使得v=(σ-2l)(u)+w，其中w∈ker(σ-2l)，进而有σ(w)=σ((σ-2l)(u)+w)=σ^2(u)-2σ(u)+w=2σ(u)-2σ(u)+w=w。因此v=(σ-2l)(u)+w=σ(u)+w∈

答：根据题目条件，对于任意有限区间$[a,b]$，有$\int_a^b f(x) dx1$时，考虑$f(x)$在$[0,t]$上的积分：$$\int_0^t f(x) dx \leq \int_0^t x^{p-1} f(x) x^{1-p} dx = \int_0^t x^{p-1} (x^p f(x)) \frac{1}{x} dx \leq t^{p-1} \int_0^\infty x^p f(x) dx$$。由于$\lim_{x\to\infty} x^p f(x)=0$，所以存在$M>0$，使得当$x>M$时，$x^p f(x)M$，有：$$\int_0^t f(x) dx \leq t^{p-1} \int_0^M x^p f(x) dx + \int_M^t f(x) dx \leq t^{p-1} \int_0^M x^p f(x) dx + \int_M^\infty f(x) dx$$右侧的两个积分都是有限的，因此$\int_0^t f(x)