Question

已知函数f(x)=x^2+a/x (x≠0,a∈R) ⑴判断函数f(x)的奇偶性 ⑵若f(x)在[2，+∞）是增函数，求实数a的取值

已知函数f(x)=x^2+a/x (x≠0,a∈R) ⑴判断函数f(x)的奇偶性 ⑵若f(x)在[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

1、f(x)的表达式不是很清楚，如果f(x)=x^2+（a/x）,f(x)只在a=0时为偶函数，其它情况都没有奇偶性
要判断函数的奇偶性，认为 f(x)=(x^2+a)/x
f(-x)=((-x)^2+a)/(-x)
=-(x^2+a)/x
=-f(x)
所以f(x)为奇函数

2、用函数单调性的定义求解
在[2，+∞）上任取x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(x1^2+a)/x1-(x2^2+a)/x2
=(x1^2x2+ax2-x2^2x1-ax1)/(x1x2)
=(x1x2(x1-x2)-a(x1-x2))/(x1x2)
=(x1x2-a)(x1-x2)/(x1x2)
因为f(x)在[2，+∞）是增函数
(x1x2-a)(x1-x2)/(x1x2)<0
x1x2>4,x1-x2<0
所以(x1x2-a)>0
a<x1x2,
x1>=2,x2>2，x1x2>4
所以 a<=4

Answer 2

若a=0，此函数为偶函数，若a不等于0。此函数非奇非偶。
求函数的倒数为f·（x）=2x-ax^-2
也就是x>=2, 时2x-ax^-2>0横成立，也是是2x-ax^-2的最小值都大于0，因为2x-ax^-2单调增的所以
4-a/4>0,a<16