Question

在正方形ABCD中,AD=6,E是CD中点,M是AE上的一点,MF⊥AE,交AB的延长线于F,连接EF交BC于点P...

在正方形ABCD中,AD=6,E是CD中点,M是AE上的一点,MF⊥AE,交AB的延长线于F,连接EF交BC于点P （1)设角AFM=α，求sinα的值.(2)若PC=BP，设EFM=β，求cotβ的值。
（根据题目图可以画出来，第二小问要过程)

Answer 1

解：（1）sin ＝5∧1/5／5
（2）∠AFM＝∠EAD＝α，tgα＝1/2
由于PC＝BP，E是CD中点
ΔEPC是等腰直角三角形，∠EPC＝∠BPF＝45度，所以∠AFE＝α+β＝45度，
tg（α+β）＝tgα+tgβ/1-tgαtgβ
1=1/2+tgβ／1-1/2tgβ
1-1/2tgβ=1/2+tgβ
3/2tgβ=1/2
tgβ=1/3
cotβ=3

Answer 2

解：（1）∵F是正方形ABCD边AB的延长线上的点，且MF⊥AE
∴△AFM是直角三角形，则α=∠AFM=90°-∠FAM
∵由题意可知∠DAM=90°-∠FAM
∴α=∠DAM
∵AD=6,E是CD中点
∴DE=3 ==>AE=√(AD²+DE²)=3√5
故 sinα=DE/AE=1/√5。
（2）在直角△BFP与直角△CEP中，
∵∠CEP=α+β （平行线的内错角相等）
PC=BP=3
∴直角△BFP≌直角△CEP
∴BF=CE （全等三角形对应边相等）
∵CE=3 （E是CD中点）
∴BF=CE=3
∴△BPF是等腰直角三角形
∴α+β=∠BFP=45°
∴β=45°-α
∵cosα=√(1-sin²α)=2/√5
∴cotβ=cot(45°-α)
=cos(45°-α)/sin(45°-α)
=(cos45°cosα+sin45°sinα)/(sin45°cosα-cos45°sinα)
=(cosα+sinα)/(cosα-sinα)
=(2/√5+1/√5)/(2/√5-1/√5)
=3。