Question

积分0到1（arcsin7次方x➖1）dx

Answer 1

问：积分0到1（arcsin7次方x➖1）dx

答：要求解这个积分：$\int_0^1 \arcsin^7(x-1)dx$。让我们考虑进行$u$-置换，其中$u = \arcsin(x-1)$。这意味着$du/dx = 1/\sqrt{1-(x-1)^2}$，因此$dx = du/\sqrt{1-(x-1)^2}$。在这种情况下，积分可以重写为：$$\int_0^1 \arcsin^7(x-1)dx = \int_{\arcsin(-1)}^{\arcsin(0)} u^7 \frac{du}{\sqrt{1-\sin^2(u)}}$$这里，我们使用了三角恒等式$\sin^2(u) + \cos^2(u) = 1$。现在，我们可以将分母中的$\sqrt{1-\sin^2(u)}$替换为$\cos(u)$，从而得到：$$\int_{\arcsin(-1)}^{\arcsin(0)} u^7 \frac{du}{\cos(u)}$$现在，我们可以使用分部积分法，令$v = u^7$，$dv = 7u^6du$，$du = dv/7u^6$，并令$u = \arcsin(t)$。这样，积分可以进一步简化为：$$\i

答：int_{- \pi/2}^0 \frac{t^7}{\cos(\arcsin(t))} \frac{dt}{7t^6} = \frac{1}{7} \int_{- \pi/2}^0 \frac{t^7}{\sqrt{1-t^2}} dt$$现在，我们可以使用恒等变换$t = \sin(\theta)$，$dt = \cos(\theta)d\theta$，从而得到：$$\frac{1}{7} \int_{- \pi/2}^0 \frac{\sin^7(\theta)}{\cos^8(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \frac{1}{7} \int_{- \pi/2}^0 \sin^7(\theta) \cos^{-7}(\theta) d\theta$$现在，我们可以使用正弦半角公式，即$\sin(\theta) = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$，进行逐步简化：$$\frac{1}{7} \int_{- \pi/2}^0 (2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2))^7 \cos^{-7

答：}(\theta) d\theta = \frac{1}{7} \int_{- \pi/2}^0 2^7 \sin^7(\theta/2) d\theta$$现在，我们可以使用三角恒等式$\sin^2(\theta/2) = (1-\cos(\theta))/2$和$\sin^3(\theta/2) = (3\sin(\theta) - \sin(3\theta))/4$进行简化：\begin{align*} \frac{1}{7} \int_{- \pi/2}^0 2^7 \sin^7(\theta/2) d\theta &= \

问：$这个是什么意思啊，

答：抱歉，之前我的回答中可能包含了一些中文字符，导致可能不太清楚。我的回答意思是，为了解决这个积分，我们可以使用$u$-置换和分部积分法，将其简化为一个三角函数积分，然后使用三角恒等式和半角公式进行进一步简化。