Question

设二阶实对称矩阵A的特征值为-4,8它们对应的特征向量分别为a1=（1，-1）T，a2=（3，k）T

Answer 1

问：设二阶实对称矩阵A的特征值为-4,8它们对应的特征向量分别为a1=（1，-1）T，a2=（3，k）T

答：您好，如下：特征向量是满足矩阵A与它的特征值之间的特殊关系的非零向量，令Av=λv，其中A是矩阵，v是特征向量，λ是特征值，则可以求得v=a1,a2.但是，要使特征向量成为一组正交相互独立的向量，就必须满足a1点乘a2=0, 且|a1|=|a2|=1。由于已经知道a1=(1,-1)T ,a2=(3,k)T，且|a1|=|a2|=1，因此只需要求解出k的取值，使得a1•a2＝1∗3+(-1)(k)＝0，即得k=3，故a2=(3，3)T，因此，矩阵A的特征向量a1=(1，-1)T，a2=(3，3)T。

问：所以矩阵A是怎么样的

答：A=\begin{bmatrix}-4 & 0 \\0 & 8 \\\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & -1 \\3 & k \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3 \\-1 & k \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3-k & -1-3k \\-3-k & 7+k \\\end{bmatrix}

问：可以用矩阵形式表示一下吗

答：亲，如下：A=（-4 8），（8 -4）a1=(1,-1)T a2=(3,k)T答：A=1/2[(1,3),(-1,k)]*diag(-4,8)*[(1,-1),(3,k)]

问：所以A写出来是的怎么样的

问：-4，8//8，-4吗

答：亲，是的

问：这个是正确的吗

答：亲，是的