3.证明:多项式f(x)=x5x+1在有理数域Q上不可约
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您好，
证明：假设 $f(x) = x^5 + x + 1$ 在有理数域 $Q$ 上可约，则可以分解成两个次数更低的多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的乘积，即 $f(x) = g(x)h(x)$。
因为 $f(x)$ 的次数为 5，所以 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的次数之一必须为 1，不妨设 $g(x) = x + a$， $a \in Q$。
那么 $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^5 + x + 1}{x + a}$，因为 $h(x)$ 是有理系数多项式，所以它的根必须是有理数。
假设 $h(x)$ 的有理数根为 $r \in Q$，则有 $\frac{r^5 + r + 1}{r + a} = 0$，即 $r^5 + r + 1 = 0$，这意味着 $r$ 是 $x^5 + x + 1 = 0$ 的根。
然而，$x^5 + x + 1$ 在复数域上可以分解为 $(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$，因此它没有任何实数根或有理数根。
因此，假设不成立，$f(x)$ 在有理数域上是不可约的。
咨询记录 · 回答于2024-01-12
3.证明:多项式f(x)=x5x+1在有理数域Q上不可约
您好，证明如下：
假设 $f(x) = x^5 + x + 1$ 在有理数域 $Q$ 上可约，则可以分解成两个次数更低的多项式 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的乘积，即 $f(x) = g(x)h(x)$。
因为 $f(x)$ 的次数为 5，所以 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的次数之一必须为 1，不妨设 $g(x) = x + a$，$a \in Q$。
那么 $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^5 + x + 1}{x + a}$，因为 $h(x)$ 是有理系数多项式，所以它的根必须是有理数。
假设 $h(x)$ 的有理数根为 $r \in Q$，则有 $\frac{r^5 + r + 1}{r + a} = 0$，即 $r^5 + r + 1 = 0$，这意味着 $r$ 是 $x^5 + x + 1 = 0$ 的根。
然而，$x^5 + x + 1$ 在复数域上可以分解为 $(x^2 + x + 1)(x^3 - x^2 + 1)$，因此它没有任何实数根或有理数根。
因此，假设不成立，$f(x)$ 在有理数域上是不可约的。
您好，这是第二种答案。
假设多项式f(x)在有理数域Q上可约，则可以写成两个次数较低的多项式的乘积，即：
f(x) = g(x)h(x)
其中，g(x)和h(x)是次数低于5的多项式。
由于f(x)的最高次项是x^5，因此g(x)和h(x)的最高次项之和必须是5。
考虑g(x)的次数，由于g(x)和h(x)的次数之和为5，因此g(x)的次数只能是0、1、2、3或4。
需要注意的是，如果g(x)的次数是0或1，则h(x)的次数必须是5或4，此时h(x)的最高次项系数不为0，与f(x)的常数项1不符，因此不成立。
如果g(x)的次数是2、3或4，则h(x)的次数必须分别是3、2或1，这样才能保证g(x)和h(x)次数之和为5。
但是，无论g(x)和h(x)的次数如何组合，都无法得到一组系数，使得g(x)h(x)的常数项为1，因此f(x)不可约。
综上所述，多项式f(x)=x^5+1在有理数域Q上不可约。
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