Question

18若1,2是方阵A的属于不同特征值的特征向量,则1,2必定正交,()

Answer 1

问：18若1,2是方阵A的属于不同特征值的特征向量,则1,2必定正交,()

答：正确。因为根据特征向量的定义，对于方阵A的两个不同特征值λ1和λ2，存在两个线性无关的特征向量v1和v2，使得Av1=λ1v1，Av2=λ2v2。由于v1和v2是线性无关的，所以它们构成了A的特征空间的一组基，即任何A的向量都可以表示为它们的线性组合。因此，v1和v2是正交的，也就是说它们的内积为0，即v1^T v2 = 0。因此，如果1、2是方阵A的属于不同特征值的特征向量，那么它们一定是正交的。

问：a和b有相同特征值，那么a和b相似吗

答：不一定相似。具有相同特征值的两个矩阵未必相似，特别是当它们的特征向量线性无关时。相似矩阵是指存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，其中A和B是两个n阶矩阵。因此，相似矩阵的特征值是相同的，但是反之不成立。例如，可以考虑若尔当标准型，即使全部的特征根都一致，也会出现形式不一致的若尔当标准型，所以有相同的特征根不能保证相似。另一方面，实对称矩阵一定相似于对角阵，而具有相同特征值的对角阵是相似的，因此具有相同特征值的实对称矩阵是相似的。综上，是否相似还需要看具体情况。

问：ax＝b有两个不同解，那么ax＝0必定有非零解吗

答：是的，如果线性方程组 Ax=b 有两个不同的解 x1 和 x2，那么 Ax1 = b 和 Ax2 = b。做差得到 A(x1 - x2) = 0，即可知 x1-x2 是非零解。因此，对于矩阵A来说，其齐次线性方程组 Ax=0 一定存在非零解。

问：向量组1 2 3两两不成比例，那么向量组1 2 3线性无关吗

答：根据向量的线性无关定义，如果一个向量组中的任何一个向量都不能表示成其它向量的线性组合，那么这个向量组就是线性无关的。对于向量组1 2 3来说，由两两不成比例可知，不存在某个向量可以表示成其它两个向量的线性组合，因此该向量组是线性无关的。需要注意的是，在该题中向量组只有一个向量，因此也可以直接得出结论：一个向量一定是线性无关的。