Question

求∬（z+y）dS,∑:z=√(4-x∧2-y∧2)

Answer 1

问：求∬（z+y）dS,∑:z=√(4-x∧2-y∧2)

答：解：∬（z+y）dS = ∬(√(4-x^2-y^2)+y)dS由于Σ处于xy平面，因此z=√(4-x∧2-y∧2)，上下边界分别为y=-2,2，左右边界为x=-2,2，即可将S拆分为四个小面积，分别为S1,S2,S3,S4，则∬（z+y）dS = ∬（z+y）dS1 + ∬（z+y）dS2 + ∬（z+y）dS3 + ∬（z+y）dS4∬（z+y）dS1 = ∫-2~2∫-2~2(√(4-x^2-y^2)+y)dydx∬（z+y）dS2 = ∫2~2∫-2~2(√(4-x^2-y^2)+y)dydx∬（z+y）dS3 = ∫2~2∫2~2(√(4-x^2-y^2)+y)dydx∬（z+y）dS4 = ∫-2~2∫2~2(√(4-x^2-y^2)+y)dydx将上述每一部分的积分分别求出，即可得到：∬（z+y）dS = 16π