Question

f(x)=lnx-1+1/x的最小值

Answer 1

问：f(x)=lnx-1+1/x的最小值

问：要过程

答：亲亲,很高兴为您解答哦我们可以对函数f(x)求导，然后令导数为0，求出驻点，再验证驻点是否为函数的最小值点。f(x) = ln x - 1 + 1/xf'(x) = 1/x - 1/x² = (x - 1) / x²令f'(x) = 0，得到x = 1为了确定x = 1是否为函数f(x)的最小值点，我们可以对f(x)进行二阶导数检验：f''(x) = -1/x² + 2/x³ = (x³ - 1) / x⁴当x = 1时，f''(1) = 0，说明f(x)在x = 1处有一个拐点，且f(x)在x = 1处由下凸向上凸，所以x = 1是函数f(x)的最小值点。又因为当x > 0时，f(x)是单调递增的，所以x = 1处的函数值f(1)是最小值。综上所述，函数f(x)的最小值为f(1) = ln 1 - 1 + 1/1 = -1。

答：亲亲相关拓展：除了这个题目外，我们还可以通过其他方法来求函数的最小值。方法一：化简f(x) = ln x - 1 + 1/xf(x) = ln x - x / x + 1 / xf(x) = ln x - x / x - 1 / xf(x) = ln x - x^2 / x (x - 1)令y = x - 1，x = y + 1f(y) = ln (y + 1) - (y + 1)^2 / (y + 1) yf(y) = ln (y + 1) - (y^2 + 2y + 1) / (y^2 + 2y)f(y) = ln (y + 1) - (y + 1) / (y^2 + 2y)f(y) = ln (y + 1) - 1 / y + 1 / (y + 2)在y > -1，y 0，y > -2的区间中，f(y)是单调递增的，所以最小值为f(-1) = ln 0 - 1 - 1/0 = -∞。