Question

z=xy^2的极值

Answer 1

问：z=xy^2的极值

答：要求求z=xy^2的极值，可以使用求偏导数的方法。对x求偏导数，得到y^2，对y求偏导数，得到2xy。令它们等于0，可以得到两个方程y=0和x=0，这两个方程代表了z的可能极值点，即原点。接下来需要判断这个点是极大值还是极小值。为了判断极值，可以使用二阶偏导数判别法，计算出z对x和y的二阶偏导数，分别是0和2，因为对于一元二次函数，一阶导数为0时，二阶导数的正负决定了它是极大值还是极小值。在这里，因为y^2永远大于或等于0，所以当x=0时，z取的是零值，而当y不等于0时，z都大于等于0。综上所述，在z=xy^2的所有可能解中，极大值和极小值只存在于点(0,0)处，而且该点为极小值。

问：我还是有些不太明白，回答能否再详细些？

答：要求求z=xy^2的极值，可以使用求偏导数的方法。对x求偏导数，得到y^2，对y求偏导数，得到2xy。令它们等于0，可以得到两个方程y=0和x=0，这两个方程代表了z的可能极值点，即原点。接下来需要判断这个点是极大值还是极小值。为了判断极值，可以使用二阶偏导数判别法，计算出z对x和y的二阶偏导数，分别是0和2，因为对于一元二次函数，一阶导数为0时，二阶导数的正负决定了它是极大值还是极小值。在这里，因为y^2永远大于或等于0，所以当x=0时，z取的是零值，而当y不等于0时，z都大于等于0。综上所述，在z=xy^2的所有可能解中，极大值和极小值只存在于点(0,0)处，而且该点为极小值。