Question

5.计算积分 |(ye^x-3x^2)dx+(e^x+y)dy 其中L是曲线 y=(1-x^2)上由点-|||-A(1

Answer 1

问：5.计算积分 |(ye^x-3x^2)dx+(e^x+y)dy 其中L是曲线 y=(1-x^2) 上由点-|||-A(1

答：首先，我们需要将曲线参数化。由于曲线为 $y=1-x^2$，我们可以令 $x=t$，则 $y=1-t^2$。因此，曲线参数化为 $\vec{r}(t) = \langle t, 1-t^2 \rangle$，$-1 \leq t \leq 1$。接下来，我们需要计算路径积分 $\int_L (ye^x-3x^2)dx+(e^x+y)dy$。根据路径积分的定义，我们有：$$\int_L (ye^x-3x^2)dx+(e^x+y)dy = \int_{-1}^1 (ye^{x(t)}-3x(t)^2)\frac{dx}{dt}+(e^{x(t)}+y(t))\frac{dy}{dt}dt$$其中，$x(t) = t$，$y(t) = 1-t^2$。因此，$$\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = -2t$$将上述结果代入路径积分公式，得到：

答：$$\begin{aligned} \int_L &(ye^x-3x^2)dx+(e^x+y)dy \\ &= \int_{-1}^1 (y(t)e^{x(t)}-3x(t)^2)\frac{dx}{dt}+(e^{x(t)}+y(t))\frac{dy}{dt}dt \\ &= \int_{-1}^1 (t(1-t^2)e^t-3t^2)(1)+((e^t+1-t^2)(-2t))dt \\ &= \int_{-1}^1 (-2t^4-2t^3+2te^t+e^t)dt \\ &= \left[-\frac{2}{5}t^5-\frac{1}{2}t^4+(2t-1)e^t\right]_{-1}^1 \\ &= \frac{4}{5}-e+\frac{1}{2}e^{-1} \end{aligned}$$因此，积分的值为 $\frac{4}{5}-e+\frac{1}{2}e^{-1}$。