Question

级数不是收敛就是发散吗

Answer 1

是的，级数要么收敛，要么发散。在数学中，级数是指无限项按规则相加的数列。级数的收敛意味着它的部分和（即前n项的总和）在n趋向无穷大的极限存在，而发散则意味着这个极限不存在或无穷大。
具体而言，如果对于某个级数，存在一个实数L，使得无论取多大的正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n大于N时，级数的部分和与L的差的绝对值小于ε，那么这个级数就是收敛的，而L就是它的和。
反之，如果对于巴拿赫空间（如实数域R或复数域C）中的某个级数，不存在这样的实数L，使得对于任意正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n大于N时，级数的部分和与L的差的绝对值小于ε，那么这个级数就是发散的。
虽然在一些情况下，可以直接判定一个级数的收敛性或发散性，但在许多情况下，需要使用一些特定的级数收敛性测试，如比值测试、根测试、积分测试等来判断级数的收敛性。这些测试可以提供关于级数是否收敛的信息。
总结起来，级数要么收敛，要么发散，具体取决于级数的部分和的极限是否存在。