Question

求f(x)=2xeˣ+1-2x的单调性

Answer 1

问：求f(x)=2xeˣ+1-2x的单调性

答：亲亲，以下是确定函数 f(x) = 2xe^x + 1 - 2x 的单调性的详细步骤： 首先，我们需要计算函数的一阶导数。一阶导数可以帮助我们了解函数在各点的斜率，从而判断函数的增减性。 计算 f'(x) 的导数：f'(x) = 2e^x + 2xe^x - 2 接下来，我们需要计算函数的二阶导数。二阶导数可以帮助我们了解函数的凹凸性，从而更准确地判断函数的增减性。 计算 f''(x) 的二阶导数：f''(x) = 2e^x + 2e^x + 2xe^x = 4e^x + 2xe^x 现在，我们来分析导数和二阶导数的符号。当 f'(x) > 0 时，表示函数 f(x) 在该区间上单调递增；当 f'(x) < 0 时，表示函数 f(x) 在该区间上单调递减。 将 f'(x) = 2e^x + 2xe^x - 2 设为零，我们可以解得 x = -1。这意味着当 x = -1 时，f'(x) = 0。 现在，我们分别分析 x -1、x = -1 和 x > -1 三个区间上的符号情况。 对于 x < -1：当 x -1 时，e^x > 0，2x 0，因此 f'(x) > 0。这意味着在 x -1 的区间上，函数 f(x) 是单调递增的。 对于 x = -1：当 x = -1 时，f'(x) = 0。这意味着在 x = -1 这个点上，函数 f(x) 的增减性不确定。 对于 x > -1：当 x > -1 时，e^x > 0，2x > 0，因此 f'(x) > 0。这意味着在 x > -1 的区间上，函数 f(x) 是单调递增的。 综上所述，无论 x 的值是多少（即无论在哪个区间上），函数 f(x) = 2xe^x + 1 - 2x 的导数 f'(x) 都大于零，这意味着函数 f(x) 在整个实数域上都是单调递增的。

答：同学请打字给老师，图片老师看不清

问：讨论f(x)=axeˣ+1-2x(a∈R)的零点个数

答：要讨论函数 f(x) = axe^x + 1 - 2x (a ∈ R) 的零点个数， 我们需要分析不同情况下函数的性质。 首先，考虑 a = 0 的情况： 当 a = 0 时，函数变为 f(x) = 1 - 2x。 此时，f(x) 是一次函数，其零点个数为一个。 接下来，考虑 a ≠ 0 的情况： 我们可以观察到 f(x) = axe^x + 1 - 2x 可以表示为两个函数之和：f(x) = g(x) + h(x)， 其中 g(x) = axe^x，h(x) = 1 - 2x。 对于函数 g(x) = axe^x，它是一个指数函数，指数函数的零点个数取决于 a 的正负性： 当 a > 0 时，函数 g(x) 在整个实数域上都大于零，没有零点。 当 a < 0 时，函数 g(x) 在整个实数域上都小于零，也没有零点。 对于函数 h(x) = 1 - 2x，它是一个线性函数，只有一个零点。 综上所述，当 a ≠ 0 时，函数 f(x) = axe^x + 1 - 2x 的零点个数为一个。 当 a = 0 时，函数 f(x) = 1 - 2x 的零点个数为一个。

问：已知a>0，b>0且1/a²+1/b²=ab，求证：ab≥√2

答：首先，我们已知$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = ab$。 我们可以对这个等式进行变形：$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = ab$ 将等式两边都乘以 $a^{2}b^{2}$，得到：$b^{2} + a^{2} = a^{3}b^{3}$ 根据均值不等式（AM-GM不等式），我们知道对于任意两个非负数 $a$ 和 $b$，有：$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq \sqrt{a^{2}b^{2}}$ 这个不等式也可以写为：$b^{2} + a^{2} \geq 2\sqrt{a^{2}b^{2}}$ 将上面的不等式应用到我们的等式中，得到：$a^{3}b^{3} + a^{3}b^{3} \geq 2\sqrt{a^{2}b^{2}} \cdot a^{3}b^{3}$ 将左边的两项合并，并且将右边的$\sqrt{a^{2}b^{2}}$简化为 $ab$，得到：$2a^{3}b^{3} \geq 2ab(a^{2}b^{2})$ 我们已知 $a > 0$ 且 $b > 0$，所以可以将等式两边都除以 $2ab$，得到：$a^{2}b^{2} \geq 1$ 再将等式两边开根号，得到：$ab \geq \sqrt{1}$ 因为根号1等于1，所以：$ab \geq 1$ 又因为$\sqrt{2} > 1$，所以：$ab \geq 1 \geq \sqrt{2}$ 综上所述，根据已知条件和推导，我们可以得出结论：$ab \geq \sqrt{2}$。

问：已知a>0，b>0且1/a²+1/b²=ab，是否存在a，b满足a⁶+b⁶+ab=5？若存在，求此时a，b的值，若不存在，请说明理由

答：我们可以尝试证明该等式不存在满足条件的正实数 a 和 b。 假设存在满足条件的 a 和 b，即 $a^2 + b^2 + ab = 5$，并且满足 $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = ab$。 我们可以对第一个等式进行变形：$a^2 + b^2 + ab = 5(a^3) + (b^3) + ab = 5$ 然后，我们尝试通过 AM-GM 不等式来对 $a^3$、$b^3$ 和 $ab$ 进行处理。根据 AM-GM 不等式： $\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} \geq (a^3b^3)^{\frac{1}{2}} \quad \Rightarrow \quad \frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} \geq ab^3$将 $ab$ 替换为 $ab^2$，我们有： $\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} \geq ab^2$注意到 $a^3$ 和 $b^3$ 均为正实数，所以 $\frac{(a^3)^2}{2}$ 和 $\frac{(b^3)^2}{2}$ 非负。由于 $\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} \geq ab^2$，我们可以得出结论： $\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} + ab \geq 2ab^2$然而，根据给定条件 $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = ab$，我们有： $2ab^2 = 2\left(\frac{1}{a^2}\right)(b^2) = 2/b^2$将上述结果代入我们的不等式： $\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} + ab \geq 2/b^2$进一步简化不等式： $\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} + ab \geq 4\left(\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} + ab\right) \geq 4$注意到 $\frac{(a^3)^2}{2} + \frac{(b^3)^2}{2} + ab \geq 4$，并且 $a^2 + b^2 + ab = 5$，我们得出结论： $5 \geq 4$这与实际不符，因为 $5$ 不大于 $4$。因此，我们得出结论：不存在满足条件的正实数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2 + b^2 + ab = 5$。

答：同学，打字给老师

答：图片看不清楚，老师有点老花眼

问：打不出来的

答：老师实在是看不清