Question

lim(x趋向于-1)(x∧3+1)/(x∧2-x-2)

Answer 1

问：lim(x趋向于-1)(x∧3+1)/(x∧2-x-2)

答：亲亲很高兴为您解答！lim(x趋向于-1)(x∧3+1)/(x∧2-x-2)：lim(x→-1) [(x^3 + 1)/(x^2 - x - 2)]我们可以尝试直接代入x=-1，但这样会导致分母为零，从而无法得到明确的结果。为了解决这个问题，我们可以尝试使用因式分解或泰勒级数展开来简化表达式。首先，我们可以对分子和分母进行因式分解：x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)将这些因式代入原始表达式，我们得到：lim(x→-1) [((x + 1)(x^2 - x + 1))/((x - 2)(x + 1))]可以看到，分子和分母都含有 (x + 1) 这个因式。我们可以约去这个公因式，得到：lim(x→-1) [(x^2 - x + 1)/(x - 2)]现在，我们可以直接代入 x = -1，得到：(-1)^2 - (-1) + 1 / (-1) - 2= 1 + 1 / -3= 2 / -3= -2/3因此，极限为 -2/3。

答：亲亲打字，看不到图片

问：设y＝sin∧2（lnx）,求y’

答：亲亲很高兴为您解答!设y＝sin∧2（lnx）,求y’为了求解y'，:令u = ln(x)，则y = sin^2(u)。现在我们将使用链式法则来计算y'。根据链式法则，如果 y = f(u) 和 u = g(x)，其中 f 和 g 都是可微分函数，则 y' = f'(u) * g'(x)。在这个问题中，f(u) = sin^2(u)，g(x) = ln(x)。首先，计算 f'(u)。使用复合函数的导数公式，我们有：f'(u) = 2 * sin(u) * cos(u)。接下来，计算 g'(x)。根据导数定义和对数函数的导数规则，我们有：g'(x) = 1/x。现在我们可以将这些结果放在一起来计算 y'：y' = f'(u) * g'(x) = 2 * sin(u) * cos(u) * 1/x。将 u = ln(x) 替换回去，得到最终的结果：y' = 2 * sin(ln(x)) * cos(ln(x)) / x。所以，y' = 2 * sin(ln(x)) * cos(ln(x)) / x。

问：设y＝lntan（x/2）求y’

答：很高兴再次为您解答！设y＝lntan（x/2）求y’：要求函数y = ln(tan(x/2))的导数y'，我们可以使用链式法则和基本的导数规则来解决。首先，我们可以将y表示为两个函数的复合：y = f(g(x))，其中f(u) = ln(u)和g(x) = tan(x/2)。根据链式法则，导数y'可以通过以下公式计算：y' = f'(g(x)) * g'(x)我们首先计算f'(u)。由于f(u) = ln(u)，其导数为f'(u) = 1/u。然后计算g'(x)。根据三角函数的导数规则，tan(x/2)的导数是1/2sec^2(x/2)。现在，我们可以将这些结果组合起来：y' = f'(g(x)) * g'(x) = (1/g(x)) * (1/2sec^2(x/2))将g(x)代入并整理得到：y' = (1/tan(x/2)) * (1/2sec^2(x/2))由于sec^2(x/2) = 1 + tan^2(x/2)，我们可以将其代入得到最终的结果：y' = (1/tan(x/2)) * (1/2(1 + tan^2(x/2)))所以，函数y = ln(tan(x/2))的导数为：y' = (1/2) * (1 + tan^2(x/2)) / tan(x/2)

问：设y＝sin∧2（lnx）求y’

答：亲亲老师上面已经给去答案。

问：求∫（（1+lnx）/x）dx

答：很高兴再次为您解答！求∫（（1+lnx）/x）dx： 设u = ln(x)+1，dv = dx/x 根据分部积分法，有du = (1/x)dx，v = ln(x)。将u和dv代入分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，得到： ∫[(1+ln(x))/x]dx = (ln(x)+1)ln(x) - ∫ln(x) (1/x)dx对于∫ln(x) (1/x)dx，我们可以再次使用分部积分法。设u = ln(x)，dv = dx/x 根据分部积分法，有du = (1/x)dx，v = ln(x)。将u和dv代入分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du，得到： ∫ln(x) (1/x)dx = ln(x)ln(x) - ∫ln(x) (1/x)dx现在我们得到了∫ln(x) (1/x)dx的表达式，将其代入原始积分中： ∫[(1+ln(x))/x]dx = (ln(x)+1)ln(x) - ∫ln(x) (1/x)dx = (ln(x)+1)ln(x) - ln(x)ln(x) + ∫ln(x) (1/x)dx我们可以观察到∫ln(x) (1/x)dx出现在等式的两边，即∫ln(x) (1/x)dx = (ln(x)+1)ln(x) - ln(x)ln(x) + ∫ln(x) (1/x)dx，可以将其移到等式的一边： 2∫ln(x) (1/x)dx = (ln(x)+1)ln(x) - ln(x)ln(x)化简得到： ∫ln(x) (1/x)dx = (1/2) [(ln(x)+1)ln(x) - ln(x)ln(x)]将其代入原始积分中，得到最终结果：∫[(1+ln(x))/x]dx = (ln(x)+1)ln(x) - ln(x)ln(x) + (1/2) [(ln(x)+1)ln(x) - ln(x)ln(x)]可以进一步整理为： ∫[(1+ln(x))/x]dx = (3/2) [(ln(x)+1)ln(x)] + C其中C为积分常数。因此，∫[(1+ln(x))/x]dx的结果为(3/2) [(ln(x)+1)ln(x)] + C。

问：设y＝e∧（x∧2）求dy

答：亲亲很高兴为您解答！设y＝e∧（x∧2）求dy：要求函数y = e^(x^2)的微分dy/dx，我们可以使用链式法则来计算。根据链式法则，如果y = f(u) 和 u = g(x)，则有dy/dx = dy/du * du/dx。在这个例子中，f(u) = e^u，其中u = x^2，因此dy/du = d/dx(e^u)。另外，g(x) = x^2，因此du/dx = d/dx(x^2)。首先，我们计算dy/du。对于y = e^u，导数dy/du等于e^u的导数，即dy/du = d/dx(e^u) = e^u。接下来，我们计算du/dx。对于u = x^2，导数du/dx等于x^2的导数，即du/dx = d/dx(x^2) = 2x。现在，我们可以将dy/du和du/dx组合起来，得到dy/dx：dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = e^u * 2x由于u = x^2，我们可以将e^u替换为e^(x^2)，得到：dy/dx = e^(x^2) * 2x因此，dy = e^(x^2) * 2x * dx。