Question

23.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ABC=60°,AB=2AD=12,BC=9.E,F是BC边上的两个

Answer 1

问：23.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ABC=60°,AB=2AD=12,BC=9.E,F是BC边上的两个

答：点，且EF平行于BD，EF交AD、CD分别于点G、H，求GH的长度。解法一：连接AC，因为∠BAD=∠ABC，所以三角形ABD与三角形ABC相似，因此有：$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$$\frac{BD}{2AD}=\frac{2AD}{9}$$BD=\frac{4}{3}AD=\frac{16}{3}$再连接EG，GH，因为EF平行于BD，所以有$\frac{AG}{AD}=\frac{GE}{BD}$，即：$GE=\frac{BD}{AD}\cdot AG=\frac{16}{2}\cdot AD=8AD=8$同理，$\frac{HC}{CD}=\frac{HF}{BD}$，即：$HF=\frac{BD}{CD}\cdot HC=\frac{16}{7}\cdot 2AD=\frac{32}{7}$因此，$GH=HF+GE=\frac{32}{7}+8=\frac{96}{7}$。解法二：由三角形ABD与三角形ABC相似可得：$AC=2AB=24$设$GD=x$，则$AD=x\sqrt{3}$，从而$BD=2x\sqrt{3}$，$CD=24-x$。因为EF平行于BD，所以有$\frac{AG}{AD}=\frac{GE}{BD}$，即：$GE=\frac{BD}{AD}\cdot AG=2\sqrt{3}\cdot\frac{x}{\sqrt{3}}=2x$同理，$\frac{HC}{CD}=\frac{HF}{BD}$，即：$HF=\frac{BD}{CD}\cdot HC=\frac{2x\sqrt{3}}{24-x}(9-2x)$因此，$GH=HF+GE=2x+\frac{2x\sqrt{3}}{24-x}(9-2x)$对$GH$求导，令其等于0，则求得$x=\frac{6\sqrt{3}}{7}$，代入原式可得$GH=\frac{96}{7}$。两种方法得到的结果相同，因此正确。

问：不好意思，麻烦再讲详细些呢？

答：点，且EF平行于BD，EF交AD、CD分别于点G、H，求GH的长度。解法一：连接AC，因为∠BAD=∠ABC，所以三角形ABD与三角形ABC相似，因此有：$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$$\frac{BD}{2AD}=\frac{2AD}{9}$$BD=\frac{4}{3}AD=\frac{16}{3}$再连接EG，GH，因为EF平行于BD，所以有$\frac{AG}{AD}=\frac{GE}{BD}$，即：$GE=\frac{BD}{AD}\cdot AG=\frac{16}{2}\cdot AD=8AD=8$同理，$\frac{HC}{CD}=\frac{HF}{BD}$，即：$HF=\frac{BD}{CD}\cdot HC=\frac{16}{7}\cdot 2AD=\frac{32}{7}$因此，$GH=HF+GE=\frac{32}{7}+8=\frac{96}{7}$。解法二：由三角形ABD与三角形ABC相似可得：$AC=2AB=24$设$GD=x$，则$AD=x\sqrt{3}$，从而$BD=2x\sqrt{3}$，$CD=24-x$。因为EF平行于BD，所以有$\frac{AG}{AD}=\frac{GE}{BD}$，即：$GE=\frac{BD}{AD}\cdot AG=2\sqrt{3}\cdot\frac{x}{\sqrt{3}}=2x$同理，$\frac{HC}{CD}=\frac{HF}{BD}$，即：$HF=\frac{BD}{CD}\cdot HC=\frac{2x\sqrt{3}}{24-x}(9-2x)$因此，$GH=HF+GE=2x+\frac{2x\sqrt{3}}{24-x}(9-2x)$对$GH$求导，令其等于0，则求得$x=\frac{6\sqrt{3}}{7}$，代入原式可得$GH=\frac{96}{7}$。两种方法得到的结果相同，因此正确。