9+利用奇偶对称性计算二重积分I=cos(x^2+y^2)dxdy+,+D=((x,y)|x^2+y^22)计算I
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您好，很高兴为您解答
，首先，我们可以利用奇偶对称性来简化计算。因为被积函数 f(x,y) = \cos(x^2+y^2)$ 是偶函数，即 f(-x,-y) = f(x,y)，而积分区域 D是以原点为中心的圆形区域，具有奇偶对称性。因此，我们可以通过将积分区域限制在第一象限内，然后乘以系数 4来得到整个积分：I = 4\int_0{\infty}\int_0^{\infty} \cos(x^2+y^2)dxdy接下来，我们可以通过换元法来求解这个二重积分，令u=x^2+y^2 和 v=\arctan(y/x)。则有：\begin{aligned}I &= 4\int_0^{\pi/2}\int_0^{\infty} \cos(u) \frac{1}{2\sqrt{u}} du dv \&= 2\int_0^{\pi/2} \left[\sqrt{u}\sin(v)\cos(u) \right]{u=0}^{u=\infty}dv\&= 2\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(v)dv \&= \left[-\frac{1}{2}\cos(v)\right]{v=0}^{v=\frac{\pi}{2}} \&= \frac{1}{2}\end{aligned}，原二重积分的结果为 $\frac{1}{2}。
，首先，我们可以利用奇偶对称性来简化计算。因为被积函数 f(x,y) = \cos(x^2+y^2)$ 是偶函数，即 f(-x,-y) = f(x,y)，而积分区域 D是以原点为中心的圆形区域，具有奇偶对称性。因此，我们可以通过将积分区域限制在第一象限内，然后乘以系数 4来得到整个积分：I = 4\int_0{\infty}\int_0^{\infty} \cos(x^2+y^2)dxdy接下来，我们可以通过换元法来求解这个二重积分，令u=x^2+y^2 和 v=\arctan(y/x)。则有：\begin{aligned}I &= 4\int_0^{\pi/2}\int_0^{\infty} \cos(u) \frac{1}{2\sqrt{u}} du dv \&= 2\int_0^{\pi/2} \left[\sqrt{u}\sin(v)\cos(u) \right]{u=0}^{u=\infty}dv\&= 2\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(v)dv \&= \left[-\frac{1}{2}\cos(v)\right]{v=0}^{v=\frac{\pi}{2}} \&= \frac{1}{2}\end{aligned}，原二重积分的结果为 $\frac{1}{2}。
咨询记录 · 回答于2023-06-23
9+利用奇偶对称性计算二重积分I=cos(x^2+y^2)dxdy+,+D=((x,y)|x^2+y^22)计算I
您好，很高兴为您解答，首先，我们可以利用奇偶对称性来简化计算。因为被积函数 f(x,y) = \cos(x^2+y^2)$ 是偶函数，即 f(-x,-y) = f(x,y)，而积分区域 D是以原点为中心的圆形区域，具有奇偶对称性。因此，我们可以通过将积分区域限制在第一象限内，然后乘以系数 4来得到整个积分：I = 4\int_0{\infty}\int_0^{\infty} \cos(x^2+y^2)dxdy接下来，我们可以通过换元法来求解这个二重积分，令u=x^2+y^2 和 v=\arctan(y/x)。则有：\begin{aligned}I &= 4\int_0^{\pi/2}\int_0^{\infty} \cos(u) \frac{1}{2\sqrt{u}} du dv \&= 2\int_0^{\pi/2} \left[\sqrt{u}\sin(v)\cos(u) \right]{u=0}^{u=\infty}dv\&= 2\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(v)dv \&= \left[-\frac{1}{2}\cos(v)\right]{v=0}^{v=\frac{\pi}{2}} \&= \frac{1}{2}\end{aligned}，原二重积分的结果为 $\frac{1}{2}。
，首先，我们可以利用奇偶对称性来简化计算。因为被积函数 f(x,y) = \cos(x^2+y^2)$ 是偶函数，即 f(-x,-y) = f(x,y)，而积分区域 D是以原点为中心的圆形区域，具有奇偶对称性。因此，我们可以通过将积分区域限制在第一象限内，然后乘以系数 4来得到整个积分：I = 4\int_0{\infty}\int_0^{\infty} \cos(x^2+y^2)dxdy接下来，我们可以通过换元法来求解这个二重积分，令u=x^2+y^2 和 v=\arctan(y/x)。则有：\begin{aligned}I &= 4\int_0^{\pi/2}\int_0^{\infty} \cos(u) \frac{1}{2\sqrt{u}} du dv \&= 2\int_0^{\pi/2} \left[\sqrt{u}\sin(v)\cos(u) \right]{u=0}^{u=\infty}dv\&= 2\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(v)dv \&= \left[-\frac{1}{2}\cos(v)\right]{v=0}^{v=\frac{\pi}{2}} \&= \frac{1}{2}\end{aligned}，原二重积分的结果为 $\frac{1}{2}。
能再详细点吗
亲亲
，图片老师收到了哦，图片内容不清晰，辛苦以文字的形式进行询问的哦。
，图片老师收到了哦，图片内容不清晰，辛苦以文字的形式进行询问的哦。
亲亲，已经是详细的步骤了哦。
，已经是详细的步骤了哦。
9、利用奇偶对称性计算二重积分。计算∫∫cos(x2+y2)dxdy，D={(x,y)|x2+y2≤2π）
亲亲，根据奇偶对称性，我们可以将积分区域D关于y轴对称，即D'={(x,y)|-x2 ≤ y2 ≤ x2, 0 ≤ x2 + y2 ≤ 2π}。因此，原二重积分可以表示为：∫∫cos(x2+y2)dxdy = 2∫∫cos(x2+y2)dxdy，(x,y)∈D'，接下来，我们进行极坐标变换，即令x=r cosθ，y=r sinθ，且r≥0，θ∈[0,2π]。则积分区域D'在极坐标系下的表示为：0 ≤ r2 ≤ 2π，0 ≤ θ ≤ π，因此，原二重积分可以表示为：2∫∫cos(x2+y2)dxdy = 4∫θ=0^π ∫r=0^√(2π) cos(r2)rdrdθ由于积分区域是圆形，可以使用极坐标系对积分进行计算。对于r在[0,√(2π)]的部分积分，积分号内的函数是cos(r²)r，对其求偏导数得到：∂/∂r(sin(r2))。再乘上带有负号的θ的偏导数-1，得到负数sin(r2)。因此，原二重积分可以计算为：∫∫cos(x2+y2)dxdy = 2∫∫cos(x2+y2)dxdy，(x,y)∈D'= 4∫θ=0^π ∫r=0^√(2π) cos(r2)rdrdθ = 4∫θ=0^π [-sin(r2)/2]∣r=0^√(2π) dθ，= 2π因此，原二重积分的值为2π。
，根据奇偶对称性，我们可以将积分区域D关于y轴对称，即D'={(x,y)|-x2 ≤ y2 ≤ x2, 0 ≤ x2 + y2 ≤ 2π}。因此，原二重积分可以表示为：∫∫cos(x2+y2)dxdy = 2∫∫cos(x2+y2)dxdy，(x,y)∈D'，接下来，我们进行极坐标变换，即令x=r cosθ，y=r sinθ，且r≥0，θ∈[0,2π]。则积分区域D'在极坐标系下的表示为：0 ≤ r2 ≤ 2π，0 ≤ θ ≤ π，因此，原二重积分可以表示为：2∫∫cos(x2+y2)dxdy = 4∫θ=0^π ∫r=0^√(2π) cos(r2)rdrdθ由于积分区域是圆形，可以使用极坐标系对积分进行计算。对于r在[0,√(2π)]的部分积分，积分号内的函数是cos(r²)r，对其求偏导数得到：∂/∂r(sin(r2))。再乘上带有负号的θ的偏导数-1，得到负数sin(r2)。因此，原二重积分可以计算为：∫∫cos(x2+y2)dxdy = 2∫∫cos(x2+y2)dxdy，(x,y)∈D'= 4∫θ=0^π ∫r=0^√(2π) cos(r2)rdrdθ = 4∫θ=0^π [-sin(r2)/2]∣r=0^√(2π) dθ，= 2π因此，原二重积分的值为2π。
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