Question

5.圆柱面 x^2+y^2=2x 被曲面 z=x^2+y^2 及平面 z=0 所截部分的面积为

Answer 1

问：5.圆柱面 x^2+y^2=2x 被曲面 z=x^2+y^2 及平面 z=0 所截部分的面积为

答：圆柱面 $x^2+y^2=2x$ 可以化简为 $(x-1)^2 + y^2 = 1$，是以 $(1,0)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆柱面。该圆柱面与平面 $z=0$ 的交线是圆周 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ 在 $z=0$ 处的投影。因此，该圆柱面所截部分面积为 $\pi r^2 = \pi$。接下来，我们需要求出圆柱面在 $z=x^2+y^2$ 这个抛物面内的投影区域的面积。由于该投影区域是关于 $z$ 轴对称的，我们可以只考虑该区域在 $z\geq 0$ 的部分的面积并将其乘以 $2$。这个投影区域可以看做是将 $z=x^2+y^2$ 投影到 $xy$ 平面上得到的区域在圆柱面内的部分

答：设圆柱面与抛物面的交线在 $xy$ 平面上的投影区域为 $D$，则可得该投影区域的面积为：$$ \begin{aligned} A &= 2 \iint_D dxdy \ &= 2 \iint_D \frac{dxdy}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \ &= 2 \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2\cos\theta}} \frac{rdrd\theta}{\sqrt{1-r^2}}\ &= 4 \int_0^{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1-r^2}} dr \ &= 4 \arcsin(\sqrt{2}) \ &\approx 3.87299 \end{aligned} $$其中，第一个等号是因为在圆柱面内部，$z=x^2+y^2$ 的值必定大于等于 $0$；第二个等号是通过把积分变量从直角坐标系 $(x,y)$ 变换到极坐标系 $(r,\theta)$，并根据区域 $D$ 的限制来确定极限；第三个等号是简单的极坐标系下的连续积分；第四个等号是将 $\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$ 看做 $\sin^{-1}{r} + C$ 的导数，积分后得到 $4 \arcsin(\sqrt{2})$。因此，圆柱面 $x^2+y^2=2x$ 被曲面 $z=x^2+y^2$ 及平面 $z=0$ 所截部分的面积为约为 $3.87299$。