Question

如何证明线性空间V不能被其有限个真子空间覆盖

Answer 1

《可数个子空间的并的几个结论》
搜索这个名字的论文，如果不能下载，告诉我你的邮箱，我发给你
我发觉这个论文里写的不清楚，我重新写个证明
首先，一个直观的考虑是，有限条直线无法组成平面，但是无限条直线就可以。
用数归法
假设v能被其子空间v1和v2覆盖，则先取a属于v1,不属于v2,再取b属于v2,不属于v1
由于a和b都属于v，v是线性的，所以a+b属于v
又由于v1和v2的并集能覆盖v，所以a+b属于v1并v2
可以推出a+b属于v1或v2
但是a+b如果属于v1,b应该属于v1，所以不行（v1是真子空间，在上面加法封闭）
同理，a+b不属于v2,推出矛盾
现在假设v不能被s个子空间的并覆盖，但能被s+1个子空间并覆盖
将s个子空间的并定义为一个大集合M，将第s+1个子空间看做前面所讲的v1,M看做前面所讲的v2，就能推出矛盾。
但是M是集合，v2是空间，是否有问题？考虑到v1并v2已经是集合的概念了，集合比的就是元素的个数，就是考虑空间中向量的个数。每一个真子空间也都是线性的，对加法和数乘封闭。原题的意思就是一个大的空间中有很多向量，每一个向量都属于大空间的一个真子空间，而这些真子空间的个数是不可数的。所以M虽然是集合，但是如果取b属于M（第二步中定义成v2），不属于第s+1的子空间，的意思就是b属于M中那s个子空间中的一个，所以之后的推导还是成立。