Question

已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R).若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln2=0相切，求实数a的值.

Answer 1

问：已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R).若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln2=0相切，求实数a的值.

答：亲，你好！很高兴为你解答～已知函数f(x)=lnx-ax（a∈R).若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln2=0相切，求实数a的值: （Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax的导数为f′（x）=1x-a，则在点（1，f（1））处的切线斜率为1-a，由于切线与直线x-y+1=0垂直，则1-a=-1，则a=2；（Ⅱ）f′（x）=1x-a=1−axx（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，当a＞0时，f′（x）＞0时，0＜x＜1a，f′（x）＜0时，x＞1a．综上，a≤0时，f（x）只有增区间：（0，+∞），a＞0时，f（x）的增区间是（0，1a），减区间为（1a，+∞）；（Ⅲ）a=1时，f（x）=lnx-x，由（Ⅱ）知f（x）在（1，2）上递减，则f（x）的值域为（ln2-2，-1），由于g（x）=13bx3-bx的导数为g′（x）=b（x2-1），则当b＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2）上递增，g（x）的值域为（-23b，23b）；当b＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（1，2）上递减，g（x）的值域为（23b，-23b）；由于对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使得f（x1）=g（x2），则b＞0时，（ln2-2，-1）⊆（-23b，23b），则有-23b≤ln2-2，即有b≥3-32ln2；b＜0时，（ln2-2，-1）⊆（23b，-23b），则有23b≤ln2-2，即有b≥32ln2-3．综上，可得实数b的取值范围是（-∞≥32ln2-3]∪[3-32ln2，+∞）．