Question

求nx^n-1/2^n收敛域和和函数

Answer 1

问：求nx^n-1/2^n收敛域和和函数

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答：# 求$nx^n - \frac{1}{2^n}$的收敛域和和函数 令 $a_n = nx^n$，则 $\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = \frac{n}{n-1} \times x < 1$，由此可得 $|x| < 1$，所以收敛域为 $|x| < 1$。 $S_n = 1 \times x + 2 \times x^2 + 3 \times x^3 + \ldots + n \times x^n$ $S_nx = 1 \times x^2 + 2 \times x^3 + 3 \times x^4 + \ldots + n \times x^{n+1}$ $(1 - x)S_n = x + x^2 + \ldots + x^n - n \times x^{n+1}$ $(1 - x)S_n = \frac{x - x^{n+1}}{(1-x)^2} - \frac{n \times x^{n+1}}{1 - x}$ $(1 - x)S = \frac{x - 0}{(1-x)^2} - \frac{0}{1 - x} = \frac{x}{(1-x)^2}$ 即 和函数 $S = \frac{x}{(1-x)^2}$。