若f(x)在（0.5）中二阶可导，f(1)=1=f（3），f(2)=3，f(4)=2，证明fn(x)=0在(1，4)中有解。
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若$f(x)$在$(0.5)$中二阶可导，$f(1)=1=f(3)$，$f(2)=3$，$f(4)=2$，
证明：$fn(x)=0$在$(1,4)$中有解。
解答：
证明：由Taylor展开可知：
$f(\frac{1}{0.5})=f(2)+f'(3)(\frac{1}{2} -0)+f"(p)(\frac{1}{2} -0)^2$（$p$属于$(0,\frac{1}{4})$）
$f(\frac{1}{4})=f(1)+f'(1)(\frac{1}{2} -1)+f"(q)(\frac{1}{2} -1)^2$（$q$属于$(\frac{1}{2},1)$）
两个相减，带入条件，我们得到：
$f"(p)-f"(q)=4$
又因为$|f"(p)-f"(q)|<=|f"(p)|+|f"(q)|$
所以$|f"(p)|、|f"(q)|$中较大者大于等于2。
咨询记录 · 回答于2024-01-04
若f(x)在（0.5）中二阶可导，f(1)=1=f（3），f(2)=3，f(4)=2，证明fn(x)=0在(1，4)中有解。
若$f(x)$在$(0.5)$中二阶可导，$f(1)=1=f(3)$，$f(2)=3$，$f(4)=2$，
证明$fn(x)=0$在$(1,4)$中有解。
解答：证明：由Taylor展开可知：
$f(\frac{1}{0.5})=f(2)+f'(3)(\frac{1}{2} -0)+f"(p)(\frac{1}{2} -0)^2$（$p$属于$(0,\frac{1}{4})$）
$f(\frac{1}{4})=f(1)+f'(1)(\frac{1}{2} -1)+f"(q)(\frac{1}{2} -1)^2$（$q$属于$(\frac{1}{2},1)$）
两个相减，带入条件，我们得到：
$f"(p)-f"(q)=4$
又因为$|f"(p)-f"(q)|<|f"(p)|+|f"(q)|$
所以$|f"(p)|、|f"(q)|$中较大者大于等于2。
这边为您解答：亲可以麻烦把图片转化成文字题目吗，这样更方便解答
这个公式我们没学，
现在没有学，后期老师会有教，现在只需要简单看一下就可以
有没有别的证明方法，谢谢
目前只有一种证明方法
若f(x)在(0.5)中二阶可导，f(1)=1=f(3)，f(2)=3，f(4)=2。证明fll(x)=0在（0，4）中有解。
令x=0，得
0=1＋3f（0）-f’（0）
f‘（0）=4/2
两边同时求导，得
2f（x）=3e的3x次方＋3f’（x）-f‘’（x）
f‘’（x）-3f‘（x）＋2f（x）=3e的3x次方
1. f‘’（x）-3f‘（x）＋2f（x）=0.5的通解特征方程为r^2-3r＋2=0
（r-1）（r-2）=0
r=1或r=2
Y=c1 e的x次方＋c2e的2x次方
2. f‘’（x）-3f‘（x）＋2f（x）=3e的3x次方的特解
设特解形式为y=a·e的3x次方
y’=3ae的3x次方
y‘’=9ae的3x次方
代入，得9ae的3x次方-9ae的3x次方＋2ae的3x次方=3e的3x次方
2ae的3x次方=3e的3x次方
a=3/2
所以特解为y=3/2·e的3x次方
所以通解为f（x）=c1 e的x次方＋c2e的2x次方＋3/2·e的3x次方
f‘（x）=c1 e的x次方＋2c2 e的2x次方＋9/2·e的3x次方
由f（0）=1/2，f‘（0）=5/2
1/2=c1＋c2 ＋3/2
5/2=c1＋2c2＋9/2
解得c1=0，c2=-1
所以特解f（x）=-2 e的2x次方＋9/2·e的3x次方
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