计算积分 ∫(z^7)/(z^8-1)dz (曲线C:|z|=3/2为正向圆周)
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这个积分可以使用复平面上的极角原理来求解。
由于曲线 C 是 |z|=3/2 的圆周，它的极角范围是 0 到 2π，
所以我们可以写出积分的表达式：
∫(z^7)/(z^8-1)dz = ∫(re^{iθ})^7/(re^{iθ})^8-1d(re^{iθ})
其中 r 是模数，即 3/2，θ 是极角。
将 r 带入后得到：
∫(3/2e^{iθ})^7/(3/2e^{iθ})^8-1d(3/2e^{iθ})
移项得：
∫(3/2e^{iθ})^7-1/(3/2e^{iθ})^8d(3/2e^{iθ})
按照极角原理，我们可以将这个积分表示为：
∫(3/2e^{iθ})^7-1/(3/2e^{iθ})^8d(3/2e^{iθ}) = ∫(3/2e^{iθ})^7-1d(3/2e^{iθ})/(3/2e^{iθ})^8
然后使用指数函数的积分公式：
∫a^xdx = a^x/ln(a) + C
得到：
∫(3/2e^{iθ})^7-1d(3/2e^{iθ})/(3/2e^{iθ})^8 = [(3/2e^{iθ})^8/ln(3/2) - 1/ln(3/2)]/(3/2e"
咨询记录 · 回答于2024-01-02
∫(z^7)/(z^8-1)dz (曲线C:|z|=3/2为正向圆周)
由于曲线 C 是 |z|=3/2 的圆周，它的极角范围是 0 到 2π，
所以我们可以写出积分的表达式：
∫(z^7)/(z^8-1)dz = ∫(re^{iθ})^7/(re^{iθ})^8-1d(re^{iθ})
其中 r 是模数，即 3/2，θ 是极角。
将 r 带入后得到：
∫(3/2e^{iθ})^7/(3/2e^{iθ})^8-1d(3/2e^{iθ})
移项得：
∫(3/2e^{iθ})^7-1/(3/2e^{iθ})^8d(3/2e^{iθ})
按照极角原理，我们可以将这个积分表示为：
∫(3/2e^{iθ})^7-1/(3/2e^{iθ})^8d(3/2e^{iθ}) = ∫(3/2e^{iθ})^7-1d(3/2e^{iθ})/(3/2e^{iθ})^8
然后使用指数函数的积分公式：
∫a^xdx = a^x/ln(a) + C
得到：
∫(3/2e^{iθ})^7-1d(3/2e^{iθ})/(3/2e^{iθ})^8 = [(3/2e^{iθ})^8/ln(3/2) - 1/ln(3/2)]/(3/2e"【摘要】
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