Question

用复数三角式证明复数|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|

Answer 1

问：用复数三角式证明复数|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|

答：亲亲您好，非常高兴为您解答，证明：设Z1=a+bi，Z2=c+di（a、b、c、d为实数），则有：|Z1 + Z2| = √((a + c)^2 + (b + d)^2)而：|Z1| = √(a^2 + b^2)|Z2| = √(c^2 + d^2)

答：因此：|Z1 + Z2| = √((a + c)^2 + (b + d)^2)≤ √(a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bd + d^2)= √((a^2 + b^2) + 2(ac + bd) + (c^2 + d^2))= √(|Z1|^2 + 2ac + 2bd + |Z2|^2)≤ √(|Z1|^2 + |Z2|^2) + √(2ac + 2bd)= |Z1| + |Z2|因此证明了 |Z1 + Z2|≤|Z1| + |Z2| 这个不等式。

问：不能是三角式的吗

问：我想看看那个样子怎么证的

答：用三角不等式证明复数的模的加法不等式的证明如下：设复数 Z1 和 Z2 分别表示为 Z1 = a + bi 和 Z2 = c + di ，其中 a,b,c,d 是实数。首先，我们定义复数的模：|Z| = √(a^2 + b^2)对于复数 Z1 + Z2 ，我们可以把它写成：Z1 + Z2 = (a + c) + (b + d)i

答：因此，我们可以使用三角不等式证明复数的模的加法不等式：|Z1 + Z2| = |(a + c) + (b + d)i|= √((a + c)^2 + (b + d)^2)≤ √(a^2 + 2ac + c^2) + √(b^2 + 2bd + d^2)= √(a^2 + b^2) + √(c^2 + d^2)= |Z1| + |Z2|因此，我们得证：|Z1 + Z2| ≤ |Z1| + |Z2|证毕。