说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆

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摘要 **垂直。**

齐次线性方程组Ax=0的解称为其基础解系，而由A转置的列向量组成的矩阵称为A的零空间矩阵，记作N(A)。

基础解系的向量一定在N(A)中，且是N(A)的一组基。

假设v是基础解系中的一向量，C是A转置的列向量组中的任一向量，则有：

* v属于N(A)，即Av=0。

* C属于列空间范围(C(A))，即C=Ax，其中x为某一向量。

因此，有：v转置C = v转置Ax = (A转置v)转置x = 0转置x = 0即v和C的内积为0，因此它们是垂直的。

由于v和C是任意向量，因此可以得出结论：齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆垂直。

咨询记录 · 回答于2024-01-11

说明齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆

# 垂直与齐次线性方程组Ax=0的基础解系和A的零空间矩阵垂直：齐次线性方程组Ax=0的解称为其基础解系，而由A转置的列向量组成的矩阵称为A的零空间矩阵，记作N(A)。基础解系的向量一定在N(A)中，且是N(A)的一组基。假设v是基础解系中的一向量，C是A转置的列向量组中的任一向量，则有：v属于N(A)，即Av=0。C属于列空间范围(C(A))，即C=Ax，其中x为某一向量。因此，有：v转置C = v转置Ax = (A转置v)转置x = 0转置x = 0即v和C的内积为0，因此它们是垂直的。由于v和C是任意向量，因此可以得出结论：齐次线性方程组Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆垂直。

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