Question

根号下2-X^2的不定积分是多少

Answer 1

问：根号下2-X^2的不定积分是多少

答：我们可以通过三角代换法来求解根号下 2-x^2 的不定积分。令 x = √2sinθ，dx = √2cosθdθ将 x = √2sinθ 代入根号下 2-x^2 得到：根号下 2-x^2 = √(2-2sin^2θ) = √(2cos^2θ) = √2cosθ于是有：∫(根号下2-x^2)dx = ∫(√2cosθ)(√2cosθdθ) = 2∫cos^2θdθ我们可以利用三角恒等式 cos^2θ = (1+cos2θ)/2，将上式转化为：2∫cos^2θdθ = 2∫(1+cos2θ)/2 dθ = ∫(1+cos2θ)dθ∫(1+cos2θ)dθ = ∫dθ + ∫cos2θdθ = θ/2 + sin2θ/4 + C其中，C 为积分常数。将 θ = arcsin(x/√2) 代入上式，得到最终结果：∫(根号下2-x^2)dx = x/2 * arcsin(x/√2) + (1/4) * x * √(2-x^2) + C其中，C 为积分常数。

答：是的

问：可以再问几道题吗

答：嗯嗯

答：打字吧，图片一直转圈圈

问：X 的平方除以根号下1+X 在0到3的定积分

答：我们可以通过换元法来求解这个积分。令 u = 1 + x，du/dx = 1，dx = du将 x = u - 1 代入 x^2/(1+x) 得到：x^2/(1+x) = (u-1)^2/u = u - 2 + 1/u于是有：∫[x^2/(1+x)]dx = ∫[(u-2) + 1/u]du积分得：∫[x^2/(1+x)]dx = (u^2/2 - 2u + ln|u|) + C将 u = 1+x 代入上式，得到：∫[x^2/(1+x)]dx = [(1+x)^2/2 - 2(1+x) + ln|1+x|] + C将 x = 0 和 x = 3 代入上式，得到积分区间为 [0, 3] 时的定积分值为：[(1+3)^2/2 - 2(1+3) + ln|1+3|] - [(1+0)^2/2 - 2(1+0) + ln|1+0|]= (16/2 - 8 + ln4) - (1/2 - 2 + ln1)= 13 + ln4因此，X 的平方除以根号下1+X 在0到3的定积分为 13 + ln4。

问：那个分母是有根号的

答：好的

答：我们可以通过有理化的方法来求解这个积分。将被积函数化简为：x^2/√(1+x) = x^2 * √(1+x) / (1+x)令 u = 1+x，du/dx = 1，dx = du将 x = u - 1 代入 x^2/√(1+x) 得到：x^2/√(1+x) = (u-1)^2/√u于是有：∫[x^2/√(1+x)]dx = ∫[(u-1)^2/√u]du积分得：∫[x^2/√(1+x)]dx = (2/5)u^(5/2) - (2/3)u^(3/2) + C将 u = 1+x 代入上式，得到：∫[x^2/√(1+x)]dx = (2/5)(1+x)^(5/2) - (2/3)(1+x)^(3/2) + C

答：将 x = 0 和 x = 3 代入上式，得到积分区间为 [0, 3] 时的定积分值为：(2/5)(1+3)^(5/2) - (2/3)(1+3)^(3/2) - (2/5)(1+0)^(5/2) + (2/3)(1+0)^(3/2)= (2/5)(4√2 - 2) - (2/3)(2√2)= 8√2/15 - 4√2/3= (8/15 - 4/3)√2= (8/15 - 20/15)√2= -4/15√2因此，X 的平方除以根号下1+X 在0到3的定积分为 -4/15√2。