3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2,0<x＜1/2,0，其他。求 Y=4X^2-1 的概率密度

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摘要首先确定 Y 的取值范围，因为 X 的取值范围是 (0,1/2)，所以 Y 的范围是 (-1, 0)∪(3, ∞)。对于 Y∈(-1,0)，可以通过反函数法计算得到 X 的取值范围为4X^2-12-sqrt(2)/4) ∪ (1/2+sqrt(2)/4,1/2)对于 Y∈(3,∞)，同样可以通过反函数法计算得到 X 的取值范围为4X^2-1>y，即 X∈(sqrt(1+y/4)-1/2,1/2)因此，Y=4X^2-1 的概率密度可以表示为：g(y)=f(x)/|dy/dx|当 y∈(-1,0) 时，有g(y) = f(x)/|dy/dx| = 2/(8x) = 1/(4x)当 y∈(3,∞) 时，有g(y) = f(x)/|dy/dx| = 2/(8x) = 1/(4x)因为在 Y 的取值范围外，概率密度为 0，所以我们可以表示为：g(y)={ 1/(4x), y∈(-1,0) ∪ (3,∞) 0, 其他}

咨询记录 · 回答于2023-03-14

3.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2,0

首先确定 Y 的取值范围，因为 X 的取值范围是 (0,1/2)，所以 Y 的范围是 (-1, 0)∪(3, ∞)。对于 Y∈(-1,0)，可以通过反函数法计算得到 X 的取值范围为4X^2-12-sqrt(2)/4) ∪ (1/2+sqrt(2)/4,1/2)对于 Y∈(3,∞)，同样可以通过反函数法计算得到 X 的取值范围为4X^2-1>y，即 X∈(sqrt(1+y/4)-1/2,1/2)因此，Y=4X^2-1 的概率密度可以表示为：g(y)=f(x)/|dy/dx|当 y∈(-1,0) 时，有g(y) = f(x)/|dy/dx| = 2/(8x) = 1/(4x)当 y∈(3,∞) 时，有g(y) = f(x)/|dy/dx| = 2/(8x) = 1/(4x)因为在 Y 的取值范围外，概率密度为 0，所以我们可以表示为：g(y)={ 1/(4x), y∈(-1,0) ∪ (3,∞) 0, 其他}

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