Question

验证罗尔定理对函数 f(x)=1/(1+x^2) 在区间[2,2]上的正确性.

Answer 1

问：验证罗尔定理对函数 f(x)=1/(1+x^2) 在区间[2,2]上的正确性.

答：您好，对于您的问题，以下是解答： 首先需要注意到题目中给定的区间 [2, 2] 是一个点，而不是一个区间，因此无法使用罗尔定理进行验证。下面给出在区间 [2, 3] 上验证罗尔定理的步骤： 1. 首先需要检验函数 f(x)=1/(1+x^2) 在区间 [2, 3] 内是否满足罗尔定理的三个条件： a) 函数 f(x) 在区间 [2, 3] 内连续； b) 函数 f(x) 在区间 (2, 3) 内可导； c) 函数 f(2) = f(3)。 在本例中，函数 f(x) 在区间 [2, 3] 内连续，且在区间 (2, 3) 内可导，因为它是常见的连续可导函数。此外，f(2) = 1/(1+2^2) = 1/5，f(3) = 1/(1+3^2) = 1/10，因此 f(2) = f(3)。 2. 根据罗尔定理，存在一个 c ∈ (2, 3)，使得 f'(c) = 0。 3. 函数 f(x) 的导数为 f'(x) = -2x/(1+x^2)^2，因此我们需要找到一个 c ∈ (2, 3) 使得 f'(c) = 0。 4. 对 f'(x) 求导，得到 f''(x) = (2-6x^2)/(1+x^2)^3。因此，f'(x) 的零点必须满足方程 2-6c^2 = 0。 5. 解方程 2-6c^2 = 0，得到 c = ±sqrt(1/3)。由于 sqrt(1/3) 位于 (2, 3) 区间内，因此存在一个 c ∈ (2, 3)，使得 f'(c) = 0。因此，根据罗尔定理，存在一个 c ∈ (2, 3)，使得 f(c) 在区间 [2, 3] 内的导数为零。 希望这个解答能够帮助到您！如有其他问题，请随时提问。