Question

x∈[0,+∞)，f(x)>0,f(x)单调递增,F(x)=1/x∫【0,x】1/f(t)dt，证明F(x)在(0，+∞）上单调递增

Answer 1

问：x∈[0,+∞)，f(x)>0,f(x)单调递增,F(x)=1/x∫【0,x】1/f(t)dt，证明F(x)在(0，+∞）上单调递增

答：证明：设F(x)在(0，+∞）上单调递增，则存在F'(x)>0，即F'(x)=1/x∫【0,x】1/f(t)dt>0由于f(x)>0，f(x)单调递增，则f(t)在[0,x]上单调递增，即f'(t)>0，t∈[0,x]由于1/f(t)是f(t)的反函数，则1/f(t)在[0,x]上单调递减，即-1/f'(t)>0，t∈[0,x]综上所述，有F'(x)=1/x∫【0,x】1/f(t)dt=-1/x∫【0,x】1/f'(t)dt<0所以F(x)在(0，+∞）上单调递增。

问：证明的是单调递减

问：打错了

答：证明：设F(x)在(0，+∞）上单调递减，则存在x1,x2∈(0，+∞），使得x1F(x2)。设x1,x2∈(0，+∞），x11/x2由于1/f(t)在[0,x1]上单调递减，1/f(t)在[0,x2]上单调递减，则有：1/x1∫【0,x1】1/f(t)dt>1/x2∫【0,x2】1/f(t)dt即F(x1)>F(x2)由此可知，F(x)在(0，+∞）上单调递减

问：答案第二步没看懂

答：您这个答案我也看不懂，然后你那步没有看懂，我的这个吗

答：证明题四也要证明是吗

答：答案的第二步

答：他的是计算证明，我的是举例证明你用我的会比较好懂，解题方式不一样，我的是因为在(0，+∞）上单调递减设两个递减的点

答：因为假设递减成立，一定会存在一个x1>x2的点，代入计算，如果成立就证明为递减，如果成立不了就代表递增

答：可以交流一下

答：说一下您的点