Question

证明：与齐次线性方程组的基础解系等价的线性无关向量组，都是这个方程组的基础解系

Answer 1

问：证明：与齐次线性方程组的基础解系等价的线性无关向量组，都是这个方程组的基础解系

答：设齐次线性方程组的基础解系为α1,α2,...,αn，则有: Ax=0 其中A是系数矩阵，x是未知变量向量。对于一个线性无关的向量组β1,β2,...,βk，假设它们等价于基础解系α1,α2,...,αn。即，β1,β2,...,βk与α1,α2,...,αn具有相同的解集。由于β1,β2,...,βk是线性无关的，所以它们张成的向量空间的维度为k。而基础解系α1,α2,...,αn又是齐次线性方程组的解向量，在解空间中张成一个n维向量空间。因为这两个向量空间的维度不同，所以β1,β2,...,βk并不能完全覆盖解空间，也就不能成为齐次线性方程组的基础解系。因此，与齐次线性方程组的基础解系等价的线性无关向量组，一定是这个方程组的基础解系。