Question

微分方程y'sin+y=2x+eˣ的通解

Answer 1

问：微分方程y'sin+y=2x+eˣ的通解

答：您好亲亲！这是一个一阶非齐次线性微分方程，可以用常数变易法求解。

答：首先化简方程：将 y'sin 移项得 y' = (2x + eˣ - ysin)/cos，然后令 u = y*cos，即可将原方程表示成 u' + usin = 2x + eˣcos。接下来，我们需要找到 u 的通解。对于齐次方程 u' + usin = 0，可以使用恒等式 u = Ce^(-cos(x)) 来求得其通解（其中 C 是任意常数）。

答：由于非齐次方程的右侧是一个多项式加上一个指数函数，我们可以猜测其特解为一个形如 Ax + Be^x 的函数。代入原方程可得 A = -1/2，B = 1/2，因此特解为 -x/2 + e^x/2。最终，u 的通解为 u = Ce^(-cos(x)) - x/2 + e^x/2，而 y 的通解则为 y = (Ce^(-cos(x)) - x/2 + e^x/2) / cos(x)。