Question

4.微分方程 (1+x^2)dy+2xydx=ctanxdx 的通解是2

Answer 1

问：4.微分方程 (1+x^2)dy+2xydx=ctanxdx 的通解是2

答：亲亲，很高兴为您解答。要解微分方程 (1+x^2)dy+2xydx=ctanxdx，可以采用分离变量的方法。首先，将方程进行整理，得到：(1+x^2)dy + 2xydx = ctanxdx将 ctanxdx 移至左侧，得到：(1+x^2)dy + 2xydx - ctanxdx = 0然后，将 dy 和 dx 分离到方程的两侧：(1+x^2)dy - ctanxdx = -2xydx接下来，将两边的变量分离：(1+x^2)dy = (2xy - ctanx)dx然后，将方程两边同时除以 (2xy - ctanx)：dy/dx = (2xy - ctanx)/(1+x^2)

答：现在，我们得到了一个可分离变量的微分方程。我们可以将它重新整理并求解。dy/(2xy - ctanx) = dx/(1+x^2)对方程进行积分，得到：∫[1/(2xy - ctanx)]dy = ∫[1/(1+x^2)]dx对左侧的积分进行计算，可以得到：ln|2xy - ctanx| = arctanx + C1其中，C1 是积分常数。进一步整理，可以得到：2xy - ctanx = e^(arctanx + C1)由于 e^(arctanx) = e^(arctanx) * e^(C1) = k * e^(arctanx)，其中 k = e^(C1) 是另一个常数，因此可以写为：2xy - ctanx = ke^(arctanx)对右侧的 ke^(arctanx) 进行进一步化简，可以得到：2xy - ctanx = k(1+x^2)将常数 k 重命名为 C2，得到最终的通解形式：2xy - ctanx = C2(1+x^2)这就是微分方程 (1+x^2)dy+2xydx=ctanxdx 的通解形式。注意，通解中的 C2 是一个任意常数，可以根据特定的初始条件来确定具体的解。