Question

求∫∫(x+y)dydz,其中，Σ为锥面z=√(x^2+y^)被平面z=1所截部分的外侧

Answer 1

问：求∫∫(x+y)dydz,其中，Σ为锥面z=√(x^2+y^)被平面z=1所截部分的外侧

答：首先，根据题目描述的 Σ 区域，可以得到它在 xy 平面上的投影区域为锥形的底面，且底面半径为 1。故可以使用极坐标系来描述该区域，设极径为 r，极角为 θ，则有： 0 ≤ r ≤ tan(π/4) = 1 0 ≤ θ ≤ 2π然后，根据题目描述的积分被积函数，可得： ∫∫Σ (x + y) dydz = ∫∫Σ x dydz + ∫∫Σ y dydz接下来，根据题目要求，分别对上述两个二重积分式进行计算。对于第一个二重积分 ∫∫Σ x dydz，使用二重积分的定义可得： ∫∫Σ x dydz = ∫₀^²π dθ ∫₀^¹ r×r dzdy这里要注意，积分区域 Σ 被平面 z = 1 截取，因此在极坐标系下，z 的取值范围是 [0, 1]。代入积分式中并进行简化，可得： ∫∫Σ x dydz = ∫₀^²π dθ ∫₀^¹ r² dz = ∫₀^²π dθ × [r²z]₀¹ = ∫₀^²π dθ对于第二个二重积分 ∫∫Σ y dydz，同样使用二重积分的定

答：对于第二个二重积分 ∫∫Σ y dydz，同样使用二重积分的定义可得： ∫∫Σ y dydz = ∫₀^²π dθ ∫₀^¹ 1/2(1 - r²) r dr代入积分式并进行化简，可得： ∫∫Σ y dydz = ∫₀^²π dθ × [1/4(r² - ¹r⁴)]₀¹ = ∫₀^²π dθ × 1/4综上所述，将上述两个结果相加可得： ∫∫Σ (x + y) dydz = ∫₀^²π dθ + ∫₀^²π dθ × 1/4 = 5π/2因此，原题的计算结果为 5π/2。