Question

已知随机变量x与y满足D(x)=1，D(y)=4，且E(xy)=E(x)E(y),则Z=3x-2y的标准差为

Answer 1

问：已知随机变量x与y满足D(x)=1，D(y)=4，且E(xy)=E(x)E(y),则Z=3x-2y的标准差为

答：亲亲，非常荣幸为您解答可以使用方差的性质来计算Z的标准差。由于：Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X, Y)其中，Cov(X, Y)表示X和Y的协方差。将Z=3x-2y代入上式可得：Var(Z) = 9 Var(x) + 4 Var(y) - 12 Cov(x, y)又由于：Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)已知E(XY) = E(X)E(Y)，因此Cov(X, Y) = 0，代入上式得：Var(Z) = 9 Var(x) + 4 Var(y)因此，Z的标准差为：σ = sqrt(9 Var(x) + 4 Var(y)) = sqrt(9 × 1 + 4 × 4) = sqrt(25) = 5因此，Z的标准差为5。

答：相关拓展：这道题目除了使用方差的性质来计算Z的标准差以外，还可以使用协方差的性质来计算。具体来说，由于：Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X, Y)又因为已知E(XY) = E(X)E(Y)，可得：Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = E(X)E(Y) - E(X)E(Y) = 0代入公式得：Var(Z) = 9Var(X) +4Var(Y) = 13因此，Z的标准差为：σ = sqrt(Var(Z)) = sqrt(13)因此，Z的标准差为sqrt(13)。使用协方差的性质来计算标准差严格来说更快，但这取决于你想使用哪种方法。