Question

求定积分∫e^(xt)*sin(t^2)从1-cosx到0

Answer 1

问：求定积分∫e^(xt)*sin(t^2)从1-cosx到0

问：可以不用求出来，题目要求是求该积分的无穷小阶数

答：亲亲您好，很高兴为您解答 定积分∫e^(xt)*sin(t^2)从1-cosx到0等于∫e^xtsint^2从1-cosx到0 = -1/2 e^x(1-cosx cos1-cosx)^2- x ∫1-cosx^0 e^(xtcost^2)dt哦。 首先，我们可以对函数e^(xt)*sin(t^2)进行分部积分： ∫e^(xt)*sin(t^2) dt = -1/2 e^(xt) cos(t^2) - x ∫e^(xt) cos(t^2) dt 计算下限和上限的值： ∫(1-cosx)^0 e^(xt)*sin(t^2) dt = -1/2 e^(x(1-cosx)) cos((1-cosx)^2) - x ∫(1-cosx)^0 e^(xt) cos(t^2) dt ∫0 e^(xt)*sin(t^2) dt = -1/2 e^(0*x) cos(0^2) - x ∫0 e^(0*x) cos(t^2) dt = 0哦。 将两个相减，就可以得出答案哦。

答：亲亲，图片收到了哦。

答：亲亲，好的哦。定积分的无穷小阶数是 t^2 e^{x(1-\cos x)}哦。

问：怎么求的啊，能不能写一下具体步骤，看不懂

答：亲亲，好的哦。

答：### 亲亲 **拓展：** 对于该积分的被积函数 $f(t,x)=e^{xt}\sin(t^2)$ 来进行研究。 首先观察 $t$ 趋于0时的行为： 当 $t \rightarrow 0$ 时，$\sin(t^2) \sim t^2$。 此外，由于 $e^{xt}$ 是指数函数，其增长速度比其他多项式慢。 因此，可以将原式改写为：$f(t,x) = e^{xt} \times t^2 \times \frac{\sin(t^2)}{t^2}$。 $\frac{\sin(t^2)}{t^2}$ 在 $t \rightarrow 0$ 时趋近于 1。 因此，我们可以将原式进一步变换为：$f(t,x) = t^2 \times e^{xt} \times \frac{\sin(t^2)}{t^2} \sim t^2 \times e^{xt}$。 因此，积分区间 $[1-\cos x,0]$ 上的被积函数的无穷小阶数为 $t^2 e^{x(1-\cos x)}$，即该定积分的无穷小阶数是 $t^2 e^{x(1-\cos x)}$。