Question

求和1+(-1)^n/lnn+1的敛散性

Answer 1

问：求和1+(-1)^n/lnn+1的敛散性

答：你好1. 莱布尼茨判别法的条件是极限为0且单调递减，其中单调递减一般是通过证明绝对值序列单调递减来完成。2. 在本题中，我们使用了比较判别法来证明了绝对值序列的单调性。比较判别法是指，若一个级数的绝对值序列和另一个已知收敛的级数的绝对值序列相比，其绝对值小于等于后者，则该级数必定收敛。3. 对于交替级数，我们可以使用阮次山夹逼定理来判断其收敛性。阮次山夹逼定理是指，若一个交替级数的绝对值与一个单调递减趋近于0的数列之积的极限为0，则该交替级数收敛。

答：我们可以将原式拆分为两个部分：1和(-1)^n/ln(n+1)。对于第一个部分1，它显然是一个收敛的级数；对于第二个部分，我们可以使用莱布尼茨判别法来判断其敛散性。莱布尼茨判别法是指，若一个交替级数的绝对值序列单调递减趋近于0，那么该交替级数必定收敛。因此，我们只需要证明 (-1)^n/ln(n+1) 的绝对值序列单调递减趋近于0 即可。当 n>=2 时，ln(n+1)>1，因此 |(-1)^n/ln(n+1)|<1。又因为 ln(n+1) 是单调递增的，所以有：

答：|(-1)^{n+1}/ln(n+2)| < |(-1)^n/ln(n+1)|

答：因此，根据莱布尼茨判别法，原式收敛。综上所述，原式收敛。

答：亲，平台这边接收不到图片，图片打不开看不清楚非常模糊，您可以尽量用文字描述出来吗？我才可以更好的为您解答。

问：我要完整解题过程，不用解析

问：分母lnn+1没有括号

答：根据莱布尼茨判别法，若数列an满足以下条件：1. an单调递减；2. lim(n→∞)an=0；那么，级数∑(-1)^nan是收敛的。我们来看题目中的级数∑[1+(-1)^n/ln(n+1)]。首先，对于n为奇数的情况，有：1+(-1)^n/ln(n+1) = 1-1/ln(n+1)对于n为偶数的情况，有：1+(-1)^n/ln(n+1) = 1+1/ln(n+1)因此，原级数可以拆分成两个级数：∑(1-1/ln(n+1)) 和 ∑(1+1/ln(n+1))对于第一个级数，我们有：an = 1-1/ln(n+1)an-an+1 = [1-1/ln(n+1)] - [1-1/ln(n+2)] = 1/ln(n+2) - 1/ln(n+1)由于ln(n+2) > ln(n+1)，所以1/ln(n+2) 1/ln(n+1)，即an单调递减。当n趋向于无穷大时，an趋近于0，即lim(n→∞)an=0，因此，根据莱布尼茨判别法，第一个级数收敛。对于第二个级数，我们有：an = 1+1/ln(n+1)an-an+1 = [1+1/ln(n+1)] - [1+1/ln(n+2)] = 1/ln(n+1) - 1/ln(n+2)由于ln(n+2) > ln(n+1)，所以1/ln(n+2) < 1/ln(n+1)，即an单调递减。当n趋向于无穷大时，an趋近于1，即lim(n→∞)an=1，因此，第二个级数发散。综上所述，原级数可以拆分成两个级数，其中第一个级数收敛，第二个级数发散。因此，原级数发散。

问：分母lnn+1没有括号

答：这个级数可以用Leibniz判别法来判断收敛性。首先，这是一个交错级数，因为分母中的ln(n+1)是单调递增的，所以当n为奇数时，(-1)^n/ln(n+1)为负数，当n为偶数时，(-1)^n/ln(n+1)为正数。其次，我们需要证明它的绝对值序列是单调递减趋于0的。|1+(-1)^n/ln(n+1)| = 1+(-1)^n/ln(n+1) （因为分母是正数）= (ln(n+1)+(-1)^n)/ln(n+1)对于n>=2，有ln(n+1)>1，因此|1+(-1)^n/ln(n+1)| < (ln(n+1)+1)/ln(n+1)=(ln(n+1)/ln(n+1))+(1/ln(n+1))=1+(1/ln(n+1))显然，(1/ln(n+1))单调递减趋于0，所以整个式子单调递减趋于1。因此，绝对值序列单调递减趋于0。根据Leibniz判别法，由于交错级数的绝对值序列单调递减趋于0，所以原级数收敛。

答：Leibniz判别法适用于交错级数，即级数的每一项都是交替正负的，并且绝对值单调递减趋于0。这时候我们可以通过该定理来判断交错级数的收敛性。Leibniz判别法的具体表述如下：若交错级数∑(-1)^na_n满足以下两个条件，则其收敛：①a_n单调递减趋于0②a_n的绝对值单调递减趋于0

答：根据莱布尼茨判别法，当数列满足以下条件时，级数收敛：1. 数列的通项趋于零；2. 数列的绝对值单调递减。首先，我们考虑数列的通项公式：a_n = 1 + (-1)^n / ln(n+1)。接下来我们分别讨论奇数项和偶数项。当n为奇数时，a_n = 1 - 1/ln(n+1)，即a_n小于1。同时，当n增大时，ln(n+1)也增大，故a_n单调递减。因此，奇数项构成的数列满足莱布尼茨判别法的两个条件，故收敛。当n为偶数时，a_n = 1 + 1/ln(n+1)，即a_n大于1。同时，当n增大时，ln(n+1)也增大，故a_n单调递减。然而，由于a_n的值始终大于1，故不能满足莱布尼茨判别法的第一个条件，故发散。因此，将奇数项和偶数项拆分，该级数可以表示为一个交替级数和一个发散的级数之和。因此，该级数发散。