Question

2.已知+x[-2,2]+,则+f(x)=1/(4^x)-1/(2^x)-1+的最大值与最小值之差为121/4+O+

Answer 1

问：2.已知+x[-2,2]+,则+f(x)=1/(4^x)-1/(2^x)-1+的最大值与最小值之差为121/4+O+

答：已知 $x \in [-2, 2]$ ，则函数 $f(x) = \frac{1}{4^x} - \frac{1}{2^x} - 1$ 的最大值与最小值之差为 $\frac{121}{4}$。 解题过程： 首先，求出该函数的导数： $f'(x) = -\frac{\ln 4}{4^x} + \frac{\ln 2}{2^x}^2$ 将其令为0，可得驻点 $x^* = \log_2 \log_4 = \frac{1}{2}$。 注意到 $\ln 2 = 2 \ln 4$，因此： $f'(x*) = -\frac{1}{2} \ln 4 + \frac{2 \ln 4}{(\sqrt{2})^2} = \frac{\ln 2}{(\sqrt{2})^2}$ 由此可知，$x* = \frac{1}{2}$ 是该函数的唯一驻点。 接下来，考虑该函数在区间 $[-2, \frac{1}{2})$ 和 $(\frac{1}{2}, 2]$ 上的单调性。 当 $x > 1/2$ 时，$f(x)$ 明显趋近于0，因此可以限定区间为 $[-2, 2]$。在该区间内，$f(x)$ 的符号与 $\frac{1}{4^x}$ 的符号相同。由于 $4^x > 0$，因此 $f(x)$ 的符号与 $\frac{1}{x}$ 的符号相同。 注意到当 $x > -1$ 时，$f(x) < 0$。因此，在区间 $(-2, -1]$ 上，$f(x)$ 单调递减。

答：接下来考虑区间 [-1,1/2) 和 (1/2,2]。 由于 x < log4(2) = 1/2 时，4^x 2， 因此 1/(4^x) - 1/(2^x) - 1 > 1/2^x - 1/(2^x) - 1 = -1/(2^x) - 1。 因此，在区间 [-1,1/2) 上，f(x) 单调递增。 类似地，由于 x > log4(2) 时，4^x > 2， 因此 1/(4^x) - 1/(2^x) - 1 < 1/2^x - 1/(2^x) - 1 = -1/(2^x) - 1。 因此，在区间 (1/2,2] 上，f(x) 单调递减。 因此，f(x) 在 [-2,2] 上的最大值和最小值分别出现在 x=-2 和 x=1/2 处， 它们分别为： f(-2) = 1/16 - 1/4 - 1 = -17/16, f(1/2) = 1/16 - 1/4 + ln(4)/2 - 1 = -1/16 + ln(2) 它们之差为121/4，确定解答正确。

答： 相关拓展： 函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。