Question

求幂级数 (-1)^(n-1)x^n/(n×2^n ）的收敛域

Answer 1

问：求幂级数 (-1)^(n-1)x^n/(n×2^n ）的收敛域

答：您好。很高兴为你解答我们可以使用比值判别法来求解该幂级数的收敛域。具体步骤如下：设 a_n = (-1)^(n-1)x^n/(n×2^n )，则有：a_{n+1}/a_n = (-1)^(n)x^{n+1}/[(n+1)×2^(n+1)] × [n×2^n/(-1)^(n-1)x^n] = -x/2(n+1)令 |a_{n+1}/a_n| < 1，即可求出幂级数的收敛域：|-x/2(n+1)| < 1即 |x| < 2，因此，该幂级数的收敛域为 (-2, 2)。需要注意的是，当 x = ±2 时，级数不一定会收敛，需要进行特殊处理。

问：过程可以写清楚一点吗

答：当 0 < a < 1 时，我们可以得到以下两个不等式：1. 1 / (1 + a^n) 1，即 (1 + a^n) > 1 / 1，即 a^n > 0；2. 1 / (a^n) > 1，即 a^n < 1 / 1，即 a^n 1。由于 a^n > 0，所以从第一个不等式无法推出 1 / (1 + a^n) 收敛；同时，由于 a^n < 1，所以从第二个不等式也无法推出 1 / (1 + a^n) 收敛。为了证明 1 / (1 + a^n) 的收敛性，我们可以使用以下方法：设 S_n = 1 / (1 + a^1) + 1 / (1 + a^2) + ... + 1 / (1 + a^n)，则：S_n = [1 / (1 + a^1) - 1 / (1 + a^2)] + [1 / (1 + a^2) - 1 / (1 + a^3)] + ... + [1 / (1 + a^n-1) - 1 / (1 + a^n)] + 1 / (1 + a^n)对于任意 k，有：

答：对于任意 k，有：1 / (1 + a^k) - 1 / (1 + a^k+1) = [(1 + a^k+1) - (1 + a^k)] / [(1 + a^k) × (1 + a^k+1)] = a^k / [(1 + a^k) × (1 + a^k+1)]因此，S_n = a^1 / [(1 + a^1) × (1 + a^2)] + a^2 / [(1 + a^2) × (1 + a^3)] + ... + a^n / [(1 + a^n) × (1 + a^n+1)] + 1 / (1 + a^n)由于 0 < a < 1，所以对于任意 k，都有 a^k / [(1 + a^k) × (1 + a^k+1)] < a^k，因此：S_n < a^1 + a^2 + ... + a^n + 1 / (1 + a^n)当 n 趋向于无穷大时，a^n 趋向于 0，所以 S_n 有上界，因此 S_n 收敛。因此，我们证明了 1 / (1 + a^n) 是一个收敛级数。