Question

(3)设A:R3R是从3维实向量空间到1维实向量空间的一个非零的线性映证明映射A核的维数 dimker等于2

Answer 1

问：(3)设A:R3R是从3维实向量空间到1维实向量空间的一个非零的线性映证明映射A核的维数 dim ker等于2

答：您好，亲。这边根据您提供的问题，为您查询到以下：首先，我们知道线性映射的核是由所有映射到零向量的向量组成的向量空间。因此，要证明dim ker A = 2，我们需要证明以下两点：1. ker A 中至少存在两个线性无关的向量；2. ker A 中不存在三个或更多个线性无关的向量。首先，由于A是一个非零的线性映射，因此存在一个非零向量v∈R3，使得Av≠0。我们可以将v扩展为R3的一组基{v, w, u}，其中w和u是v的线性无关向量。由于A是一个线性映射，因此对于任意向量x∈R3，都可以表示为x = αv + βw + γu的形式，其中α、β、γ是实数。现在，我们来考虑A(x)的值。由于A是一个线性映射，因此有A(x) = αA(v) + βA(w) + γA(u)。由于A(v)≠0，因此当且仅当α=0时，A(x) = 0。因此我们可以得到ker A的一组基{x1 = w - w, x2 = u - u}，其中w - w和u - u是v的线性无关向量。接下来，我们需要证明这组基是线性无关的。假设存在实数α和β，使得α(w - w) + β(u - u) = 0。则有αw + βu = 0。由于w和u是v的线性无关向量，因此α=β=0，证明了这组基是线性无关的。因此，我们证明了ker A中至少存在两个线性无关的向量。接下来，我们需要证明不存在三个或更多个线性无关的向量。假设存在三个线性无关的向量{x1, x2, x3}，使得它们都属于ker A。由于它们是线性无关的，因此它们可以扩展为R3的一组基{x1, x2, x3, v}。由于A是一个线性映射，因此对于任意向量x∈R3，都可以表示为x = αx1 + βx2 + γx3 + δv的形式，其中α、β、γ、δ是实数。现在，我们来考虑A(x)的值。由于A是一个线性映射，因此有A(x) = αA(x1) + βA(x2) + γA(x3) + δA(v)。由于{x1, x2, x3}都属于ker A，因此A(x1) = A(x2) = A(x3) = 0。由于A(v)≠0，因此当且仅当δ=0时，A(x) = 0。因此，我们可以得到ker A的一组基{x1, x2, x3, v}中至少存在一个向量不属于ker A，与假设矛盾。因此，我们证明了不存在三个或更多个线性无关的向量。综上所述