过椭圆y²/2+x²=1的焦点F(0,1)被该椭圆截的线段长为3√2/2,求直线L的方
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咨询记录 · 回答于2022-11-22
过椭圆y²/2+x²=1的焦点F(0,1)被该椭圆截的线段长为3√2/2,求直线L的方
您好，很高兴为您解答感谢您的耐心等待
：椭圆x^2/2+y^2=1a^2=2 b^2=1c^2=a^2-b^2=1有对称性不妨设F为右焦点右焦点F(1,0)设直线l: ky=x-1代入x^2/2+y^2=1(ky+1)^2+2y^2=2(2+k^2)y^2+2ky-1=0y1+y2=(-2k)/(2+k^2)SΔA0B=SΔA0F+SΔB0F=1/2*|OF|*|y1|+1/2*|OF|*|y2|=1/2*|OF|*(|y1|+|y2|)=1/2*(|y1|+|y2|)由y1*y2=-1/(2+k^2)<0=1/2*|y1-y2||y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2=[(-2k)/(2+k^2)]^2+4/(2+k^2)=(8+8k^2)/[(2+k^2)^2]令2+k^2=t≥2 k^2=t-2=(8t-8)/t^2=-8/t^2+8/t=-8(1/t-1/2)^2+2≤2SΔA0B≤1/2*√2=√2/2取最大值时1/t=1/2 t=2 k^2=0k=0直线l: 0*y=x-1x=1
：椭圆x^2/2+y^2=1a^2=2 b^2=1c^2=a^2-b^2=1有对称性不妨设F为右焦点右焦点F(1,0)设直线l: ky=x-1代入x^2/2+y^2=1(ky+1)^2+2y^2=2(2+k^2)y^2+2ky-1=0y1+y2=(-2k)/(2+k^2)SΔA0B=SΔA0F+SΔB0F=1/2*|OF|*|y1|+1/2*|OF|*|y2|=1/2*|OF|*(|y1|+|y2|)=1/2*(|y1|+|y2|)由y1*y2=-1/(2+k^2)<0=1/2*|y1-y2||y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2=[(-2k)/(2+k^2)]^2+4/(2+k^2)=(8+8k^2)/[(2+k^2)^2]令2+k^2=t≥2 k^2=t-2=(8t-8)/t^2=-8/t^2+8/t=-8(1/t-1/2)^2+2≤2SΔA0B≤1/2*√2=√2/2取最大值时1/t=1/2 t=2 k^2=0k=0直线l: 0*y=x-1x=1
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