Question

12.求 f(x)=(3x^2+1)/(x+2) 的斜渐近线方程.

Answer 1

问：12.求 f(x)=(3x^2+1)/(x+2) 的斜渐近线方程.

答：亲，您好。 首先，我们需要确定函数 f(x) 的水平渐近线和垂直渐近线是否存在。 对于水平渐近线，我们需要求出当 x 趋向于正无穷或负无穷时，f(x) 的极限值。根据极限的定义，我们有： lim [x→∞] (3x^2+1)/(x+2) = lim [x→∞] 3x^2/x = ∞ lim [x→-∞] (3x^2+1)/(x+2) = lim [x→-∞] 3x^2/x = -∞ 因此，f(x) 没有水平渐近线。 对于垂直渐近线，我们需要找到使得分母为0的 x 值。即 x+2=0，解得 x=-2。因此，f(x) 有一条垂直于 x=-2 的渐近线。 接下来，我们来求斜渐近线。斜渐近线是指当 x 趋向于正无穷或负无穷时，f(x) 与一条直线的差趋近于0。我们可以通过长除法或者分式分解来求出这条直线的方程。使用分式分解，我们有： f(x) = 3x - 6 + (13/(x+2)) 当 x 趋向于正无穷或负无穷时，13/(x+2) 的值趋近于0，因此： lim [x→∞] f(x) = 3x - 6 lim [x→-∞] f(x) = 3x - 6 这表明当 x 趋向于正无穷或负无穷时，f(x) 与直线 y=3x-6 的差趋近于0。因此，直线 y=3x-6 是函数 f(x) 的斜渐近线。

问：还有需要

问：发题给你吗？

答：您发文字过来，我看看

答：亲，我这边网络卡顿。图片打不开呀。您发文字给我一下。

问：证明：(x+y)的4次方小于等于x的4次方+y的4次方的和的8倍

答：亲，您的题目是这个吗？(x+y)^4\leq 8(x^4+y^4)

答：\leq 是小于等于的意思

答：根据二项式定理，有： $$(x+y)^4=\sum_{i=0}^4C_4^ix^iy^{4-i}$$ 其中，$C_4^i$表示从4个元素中取i个元素的组合数，即 $C_4^i=\frac{4!}{i!(4-i)!}$。 我们注意到，当$i$取2或3时，有$C_4^i=6$；当$i$取0、1或4时，有$C_4^i=1$。 因此，上式右侧的和式可以写成： $$(x+y)^4=\sum_{i=0}^4C_4^ix^iy^{4-i}=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$$ 对于右侧的和式，我们有： $$x^4+y^4\geq 2x^2y^2$$ 这是因为，根据平均值不等式，有： $$\frac{x^4+y^4}{2}\geq \left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)^2\geq x^2y^2$$ 另外，由于$x$和$y$都是非负数，因此我们有： $$4x^3y+4xy^3\leq 8x^2y^2$$ 这是因为，根据平均值不等式，有： $$\frac{4x^3y+4xy^3}{2}\leq \left(\frac{4x^2y+4xy^2}{2}\right)^2=16x^2y^2$$ 因此，我们有： \begin{aligned}(x+y)^4&=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 \ &\leq x^4+2x^2y^2+y^4+8x^2y^2 \ &= (x^4+y^4+2x^2y^2)+8x^2y^2 \ &= (x^2+y^2)^2\cdot (x^2+y^2)^2 \ &= ((x^2+y^2)^2)^2 \ &\leq ((x^2+y^2)^2+y^0)^2 \ &= (x^4+y^4)^2 \end{aligned} 因此，$(x+y)^4\leq (x^4+y^4)^2$，即$(x+y)^4\leq x^4+y^4$的和的8倍。