Question

经过点(-2,3,2)且与平面x-z=0,3x-y+z=0平行的直线的方程

Answer 1

问：经过点(-2,3,2)且与平面x-z=0,3x-y+z=0平行的直线的方程

答：要求经过点 P(-2, 3, 2)且与平面 x-z=0 和 3x-y+z=0 平行的直线的方程，可以按照以下步骤进行： 首先，平面 x-z=0 的法向量为 n1=(1, 0, -1)，平面 3x-y+z=0 的法向量为 n2=(3, -1, 1)。 由于所求的直线与这两个平面都平行，因此直线的方向向量必须与 n1 和 n2 垂直。 其次，由于经过点 P(-2, 3, 2)，因此直线的方程可以表示为：r= r0 +t v 其中，r0 是直线上的一个已知点，这里取 r0=(-2,3,2)；v 是直线的方向向量，满足 v·n1=0 和 v·n2=0。 综合以上条件，我们可以列出以下方程组： v1-v3=0 3v1-v2+v3=0 解得 v=(1,3,1)。 因此，经过点 P(-2, 3, 2) 且与平面 x-z=0 和 3x-y+z=0 平行的直线的方程为：x=-2+t y=3+3t z=2+t 其中，t 是任意实数，这是一条通过点 P(-2,3,2)，与平面 x-z=0 和 3x-y+z=0 平行的直线。

问：我这样为什么不对

答：已知直线经过点 $P(-2, 3, 2)$，且与平面 $x-z=0$ 和 $3x-y+z=0$ 平行，我们可以通过以下步骤求出直线的方程： 首先，由于直线与平面 $x-z=0$ 平行，因此直线的方向向量应该垂直于平面的法向量 $(1,0,-1)$。 同理，由于直线与平面 $3x-y+z=0$ 平行，因此直线的方向向量应该垂直于平面的法向量 $(3,-1,1)$。 因此，直线的方向向量应该是这两个法向量的叉积，即：

答：其次，已知直线经过点 $P(-2, 3, 2)$，因此可以得到直线的向量式方程为：

答：其中，t 为实数。这个向量式方程就是直线的方程。因此，经过点 P(-2,3,2) 且与平面 x-z=0和 3x-y+z=0 平行的直线的方程为：