Question

7若向量 (a)=(x,2) ,b=(2,3) ,c=(2,-4), 且(a)(c) 则a在b上的投影向量为()-||

Answer 1

问：7若向量 (a)=(x,2) ,b=(2,3) ,c=(2,-4), 且(a)(c) 则a在b上的投影向量为()-||

问：请回答一下谢谢

问：亲

答：您好，很高兴为您解答。首先，我们需要计算向量a在向量b上的投影向量，可以使用以下公式：proj_b(a) = ((a·b) / ||b||^2) * b其中，· 表示向量的点积（内积），||b|| 表示向量 b 的模长（长度）。现在，我们来逐步计算：首先，计算向量 a 和 b 的点积：(a·b) = x2 + 23 = 2x + 6然后，计算向量 b 的模长：||b|| = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13)将计算结果代入公式中，得到向量 a 在向量 b 上的投影向量为：proj_b(a) = ((2x + 6) / 13) * (2,3)化简可得：proj_b(a) = (4x + 12)/13, (6x + 18)/13

答：现在，我们需要找到一个向量，它既在向量 b 上，又与向量 c 垂直（即两个向量的点积为0）。我们可以使用向量投影的几何性质，将向量 c 减去其在向量 b 上的投影向量，得到一个垂直于向量 b 的向量：v = c - proj_b(c)其中，proj_b(c) 表示向量 c 在向量 b 上的投影向量。同样地，我们可以使用公式计算：计算向量 c 和 b 的点积：(c·b) = 2*2 + (-4)*3 = -8将上面的计算结果代入公式中，得到向量 c 在向量 b 上的投影向量为：proj_b(c) = ((-8) / 13) * (2,3)化简可得：proj_b(c) = (-16/13), (-24/13)将投影向量代入上面的公式，得到垂直于向量 b 的向量：v = c - proj_b(c)= (2,-4) - (-16/13, -24/13)= (42/13, -20/13)因此，向量 (42/13, -20/13) 就是向量 a 在向量 b 上的投影向量，同时与向量 c 垂直的向量。